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:Authors: Kenneth Lee :Version: 1.0
严格按定义进行逻辑推演
本文是出差途中远程教女儿做作业，题目也比较简单，但涉及一些基本的初中物理的思考 角度问题。
题目如下：小车A的速度-时间的关系如下：
.. figure:: _static/速度时间关系.jpg
阴影部分就是小车的运动距离。
问题1：小车A在0-1s内，平均速度是多少？
问题2：如果在时刻0的时候，在小车A后面0.9m的位置释放一辆匀速运动的小车B，小车B在 什么速度范围的时候永远不会遇上小车A？什么速度范围的时候会遇上小车1次？
我说过很多次了，其实中学物理，从考试的角度来说，基本上就是简单数学。所以，关键 问题都是你怎么把一个物理问题转换为一个数学问题。所以，大部分时候，在于你能否严 格按照定义来转换物理描述为数学描述。转换完成后，因为初中涉及的物理知识都是线性 关系，所以都是一次方程问题，和你们学的数学比，就不是一个档次的问题，会变得非常 简单。
第一个问题，其实是在要你先提前学初步的积分（以前给你讲过），但你可以无条件使用 它的这个条件“阴影部分就是小车的运动距离”，那么我们就可以严格按定义来解决问题：
平均速度=距离/时间
距离怎么算？这个题目中直接给你提供了公式了（阴影的面积），所以距离就是三角形的 面积公式：
.. math:: S = 0.2m/s \times 1s \times \frac{1}{2}
时间是1S。
这样平均速度就可以算出来了。
第二个问题，我们也是无条件按定义来抽象数学模型。我们把时刻叫做t，小车A的离起点 的距离叫做
.. math:: S_a
小车B离起点的距离叫
.. math:: S_b
小车B的速度叫
.. math:: S = 0.2m/s \times 1s \times \frac{1}{2}
那么，可以列出如下公式：
.. math:: S_{a} = \frac{1}{2} \times t \times 0.2
(这个我们前面已经学会了)
.. math:: S_{b} = -0.9 + V_{b} \times t
(这个是我们本来就会的）
从数学的角度来说，两个小车相遇，就是两个S相等，所以我们就有了方程：
.. math:: \frac{1}{2} \times t \times 0.2 = -0.9 + V_{b} \times t (其中：t\geq 0)
化简：
.. math:: t = \frac {0.9} {V_{b} - 0.1}
t必须是正数，Vb可以如何取值，这个就不用我说了。
这个题目给我的感觉，是出题老师有点江郎才尽，不得不超纲出题。对于没有积分基础的 学生，这个题目其实是有障碍的，因为你不一定能直接掌握“阴影部分的面积就是小车A的 运动距离”这句话的意思。
但无论如何吧，如果你严格按定义来列方程，这个题目就是可解的。
我其实更想强调的是，这样“江郎才尽”的老师说不定会有很多的，所以，要想领先，还是 要超纲学习，人家出题可以有办法保证不超纲（比如这题这样，临时给你补一个知识点） ，但你不超纲学，其实在考试的时候还是会吃亏的。初中这个问题不明显，高中就很明显 了，所以，还是提前学一下微积分和统计，这个会省很多事，比上补习班有用多了。
我们就着这个问题把积分这个概念复习一次。首先我们以前一直可以理解：速度是距离除 以时间。我们会自然而然地认可了“某个时刻的速度”这个概念。但把这两个概念综合想一 下——到底什么是“某个时刻的速度”？为什么“某个时刻”会有速度的？如果严格按前面的定 义，某个时刻，也就是时间为0，那么这个时间内的距离就是0。严格来说，速度就是0除以 0，这个在数学上没有定义，那么“某个时刻的速度”到底是什么？
数学是一种抽象，它不是现实，当它不能解释现实的时候，我们就会好好回想一下，到底 现实是什么。我们测量速度的最初方法，确实是测量一个物体从一个点到另一个点的时间 ，然后用这两个点的距离来除以这个时间，就认为这是当时的平均速度了，好比这样：
.. figure:: _static/平均速度.png
在时刻0，小球在一个位置，到10m的时候，它运动到10m外的第二个位置，我们看看表，时 间到了1s，这样，我们就认为这段时间内小球的速度是1m/s。
如果用上面那副图的样式来表示这个速度和时刻的关系，就是这样的：
.. figure:: _static/平均速度2.png
这是我们的测量结果，我们觉得是这样的，但其实不一定，但我们因为只在10m外有检查点 ，所以我们认为这个距离里面的速度是1m/s，如果我们要确切知道是不是，我们就要在中 间增加检查点，比如我们在5m的地方增加一个检查点，发现这个检查点碰到小球的时刻是 5s，这样，我们至少可以认为，“前5s和后5s的（平均）速度是相同的”。人是具有联想能 力的，我们很容易就会把这个过程在思考上无限细分下去，这样，我们就有了一个“某时刻 的速度”的概念了。比如，下面这个就是我们理解的匀速运动的瞬时速度概念：
.. figure:: _static/平均速度3.png
如果小车不是匀速的，而是前面那个小车A的例子那样，速度越来越快的，其实我们看到的 是这么一个概念：
.. figure:: _static/平均速度4.png
很明显，如果我们把每个小长方形收窄到足够小的程度，在每个小时间片内，我们就认为 那个小时间片内的“平均速度”，就是那个时刻的速度。而这时这些小长方形的面积，也无 限接近于三角形的面积。
这种数学方法，就叫积分。它可以把一个函数，变成它和横坐标以及前后垂线共同组成的 面积的函数。而微分，是反过来的方法，是知道那个面积的函数，求速度的函数。
微积分相对中学我们一般学习的方法，是更高级的数学方法，因为它已经有很多很成熟的 公式和定理了，比如我们如果知道速度的函数是v=0.2t，那么我们可以直接用积分公式， 知道距离的函数是
.. math:: s = \frac{1}{2} \times 0.2 \times t^{2}
（注意：这是上例的一个特例，不是实际的积分公式，积分需要给定前后两个时刻来计算 的）。反过来，如果我们知道距离的函数，我们可以直接用微分公式直接知道速度的函数 。而且，多项式的微分和积分，等于每一项的微分和积分的和。有了这样的数学工具，你 解决问题的速度就会快很多。这里不是要教微积分，那个我们可以专门来学，我这里只是 让你看到，高一个级别的数学工具，到底可以从什么角度上解决问题而已。
从这些分析我们可以看到，瞬时速度这个概念，其实是我们对现实一个极端化抽象的描述 ，它不那么可靠，等你们开始学习连续，平滑，左右连续和平滑这些概念，就会发现前面 这样的细分方法，其实也是有问题的。但这正是科学的特点。我们通过宏观类比去理解微 观，抽象成数学模型，然后我们通过实验来确认这个数学模型是否成立，到我们发现数学 模型和实验结果的差距的时候，我们就真正理解那个微观的特性是什么了。所以，没有数 学思维，你就基本上失去理解这个世界的现代视野了。
严格按定义进行逻辑推演2
本文是前问的一个续写。
前两天和女儿讨论这个问题：
如下图，两个固体A、B静止放在水平桌面上，问：A的重力和桌面对A的支持力是一对平衡 力吗？
.. figure:: _static/对称性1.png
这个问题很简单，显然答案是：否。
现在关键的问题是：为什么？
一种回答是这样的：因为B的重量压到了A上，所以A对桌面的作用力是A+B（假定A、B是两 个物体的重力），桌面的支持力应该是A+B，这和A的重力不相等，所以它们不是平衡力。
这个答案就叫“不严格按定义进行推演”，因为里面的各种说法，没有任何理论可以支撑， 例如：凭什么B的重量压到了A上，A对桌面的作用力就得是A+B？
严格按定义进行推演，我们就得回到我们基础的定义和定律上，定义我们这里不重复了， 我们只讨论定律，两个基本的经典物理定律：
当物理保持静止或者匀速直线运动的时候，作用在物体上的合力为0
作用力等于反作用力，方向相反
请特别注意这两个定律描述的对象：第一个定律描述的对象是同一个物体。第二个定律描 述了两个物体：如果两个物体互相作用，那么A物体对B物体的作用力，等于B物体对A物体 的作用力。
所以，上面那个问题应该分别分析如下：
对于B物体，它受万有引力的影响，重力为B，由于它静止，根据定律1，它的合力必须为0 ，平衡重力的这个力只能是A给他的作用力，所以A对B的作用力等于B：
.. figure:: _static/作用力和反作用力2.jpg
对于物体A，由于作用力等于反作用力，既然A对B有作用力B，所以A受到B的反作用力B。A还受到重力A，为了和这两个力平衡，桌子对A的作用力必须等于这两个力的合力：
.. figure:: _static/作用力和反作用力3.jpg
最后是桌子：由于桌子给了A作用力A+B，根据定律1，桌子受到A的压力就是A+B。
所以，A受到的重力不等于桌子给他的作用力，它们虽然都作用在A上，但它们不平衡。
很多成人可能觉得这个问题很简单，但其实很多人到了工作中，都没有能够很好地精确地 按定义和定义所描述的“主语”来思考问题的。今天有人推给我这样一个问题：
| 栈究竟在哪里？
| 如果运行1+1=2这样一个程序，这段程序，经过页表分配，
| 被加载到内存中以后。cpu从内存中取出，把相加指令和
| 数据通过运算单元得到结果。然后把结果，返回到内存中。
| 这样一个过程中，哪个位置是栈的位置呢？当运算发生时，
| 如果发生中断，栈指针寄存器中记录的是代码在内存中的地址吗。
| 不太明白，所以提的问题也没叙述清楚。
良心一点说，这个问题还是经过思考了的，比那些“我刚进大一，想学Linux，如何入手？” 这样的问题好多了。但这个思考其实是不深入的。题主在某个地方听说了“栈”这个说法， 然后和他理解的编程过程相结合，希望理解一下栈是什么。
但定义呢？你看到的是哪个对“栈”的定义呢？那得从定义开始思考这个问题啊。比如你看 到了栈的定义是：
| 在计算机领域，堆栈是一个不容忽视的概念，堆栈是一种数据结构。
| 堆栈都是一种数据项按序排列的数据结构，只能在一端对数据项进行插入和删除。
那行，这很显然是个数据结构的定义，和计算过程没有关系，基于这个定义，你根本就不 会问上面那个问题。
也许你看到的是这样的定义：
| 栈是操作系统在建立某个进程时或者线程（在支持多线程的操作系
| 统中是线程）为这个线程建立的存储区域，该区域具有FIFO的特性，
| 在编译的时候可以指定需要的Stack的大小。
那你首先看到的应该是进程或者线程创建的过程，而不是1+1=2这样一个过程，你应该去找 的是你的main函数被运行，被编译这样一个过程。
一旦你这样思考了，你就有可能发现语义和你的现实在哪里发生了交叉点，那个时候你出 来提问，回答你就能把知识传递给你了，否则，洋洋洒洒写一大堆，你觉得你懂，其实你 就没有懂。这个问题和上面的物理题是一样的。
基本的科学素养，是从中学的教育中培养起来的。我们觉得我们在思考问题，但我们的思 考如果没有回到“定义”本身上面，没有明确指向“定义”所指向的“主语”是谁，范围有多大 ，这些思考常常是没有意义的。这是我们每个中学生，中学老师，都应该慎重的问题。