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对称性——讨论平面几何辅助线的添加技巧
最近几天和两位小同学讨论了几道题的辅助线的添加技巧问题，这里总结一下：
先看如下问题：
.. figure:: _static/对称辅助线1.png
如图，在等腰直角三角形ABC中， [公式] =90度，D为AC边上的中点，过D点作DE垂直于DF ，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF的长度。
这道题不算难，但也是颇多转折，学生会在怎么想出辅助线这个问题上纠缠很久。但如果 我们对对称的敏感性高一点，在想这种问题的时候，就会简单很多。
首先，我们看到一个等腰直角三角形的时候，第一反应，可能是，这是“半个正方形”。正 方形是圆之外，最“对称”的图形了（喜欢掰的人可能要举其他正多边形的例子了，但我们 这里不关心这个，我们更关心我们平时一般会在解题中遇到的“简单”图形）。这是引起我 们思路的关键点。
如果我们把上面这个正方形补全，你的脑子里就会有这样一个印象：
.. figure:: _static/对称辅助线2.png
AC和BD斜着分割了这个正方形：
.. figure:: _static/对称辅助线3.png
如果这样看待这个图形，那么原图的EDF看作是一个刚体，本质上是这里的切割线旋转一个 角度：
.. figure:: _static/对称辅助线4.png
由于正方形是四面对称的，这很明显看到，这个图形，在ADB上的变化，和BDC，CDG，GDA 上的变化，是完全一样的：
.. figure:: _static/对称辅助线5.jpg
这样，如果不需要证明，我们很容易就猜到，如果AE是4,FC是3，那么，BF就应该是4，BE 是3，从而我们立即就可以知道EF是5。
这种时候，辅助线怎么做，就怎么都不成为问题了。因为这个图形里面有无数个，随便怎 么搞都可以全等的三角形。比如我们可以证明AED和BDF两个三角形是全等的（角角边）， 然后我们就有AE=BF，剩下的问题就都不是问题了。
正方形是四面对称，解决起来特别容易，而长方形呢，只有两面对称，实际上也是可以一 样解决问题的。比如这道题：
如图，在四边形ABCF中，角ACB=90度，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对 称点，
(1)求证：四边形CFAE为菱形
(2)连接EF叫AC于O，若BC=10，求线段OF的长
.. figure:: _static/对称辅助线6.png
我们先看这个图，什么地方是稳的，如果绘制这幅图，首先肯定是把AC和BC画出来，这是 个直角结构，但AC和BC的长度是无限定的，我们随便找个长度，把AB画出来，然后找中点 得到E，然后靠对称得到F，这个图就成型了。
经过这么一个绘制过程，我们的脑子里就可以形成这样一个对称结构了：
.. figure:: _static/对称辅助线7.png
那么AECF是个菱形这个问题就变成一眼可见的问题的。剩下的问题就只剩下怎么把定理组 织上去的问题。
所以这还是一个问题，一旦我们有了对称，全等三角形就是一抓一大把的了，比如这里的 AEO和AFO，ABC和AB'C，AEO和CEO，AFO和FCO，这样这个问题就不言自明了。
由于我们已经确认这是个左右对称的图形了，那么再往上脑补完整个长方形，第二问的那 个长度计算就完全不是个事了：
.. figure:: _static/对称辅助线8.png
从这里可以看到，很多我们看起来觉得“怎么会想到在这里做辅助线”的问题，大部分时候 ，都是通过对称来给你制造思维障碍的。因为你看不到对称的整个形象，你就会觉得怎么 异军突起，“在这个地方想到一条辅助线呢？”
但当你补足了整个对称的样子，这些辅助线就无所遁形了。
而要培养这个敏感，应该常备：
圆规，直尺和量角器，只要不是赶时间，多基于条件，通过图严格复原原题条件，这样能 让你对图中那部分是“刚体”，那部分是可变的形成概念，这样考试的时候就可以快速进行 脑补，迅速确定在什么地方增加辅助线了。
如下图：
.. figure:: _static/对称辅助线9.jpg
长方形ABCD，AB=6， BC=8，在BC和CD上取点E和F，使BE等于FC等于t，问当EAF等于45度时 ，t的取值是多少？
这个问题辅助线看起来非常困难，但我们注意到两个相等的t，恰恰是各一个旋转体的一部 分，这样我们很容易把这个正方形补出来：
.. figure:: _static/对称辅助线10.jpg
一旦这个正方形补充出来，这个问题就变得很简单了。