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:Authors: Kenneth Lee :Version: 1.0 :Date: 2023-10-3 :Status: Released

非线性电路分析

本文我们延续 :doc:上一个讨论 <线性电路分析原理> ，以三极管为中心讨论一下非线性电路分析的原理。

我中学的时候醉心于做收音机，对三极管是怎么工作的花了很多时间，也参加了不少课外培训机构的课程，看过很多关于三极管电路分析的资料，基本上就没怎么看懂。甚至到大学的时候正规学习模拟电路和数字电路了，我都没有怎么搞明白这东西到底是个什么原理。

这个问题直到我工作了以后，和不少做硬件的同事一起工作了，我才突然反应过来，我根本就被“放大”这个概念给误导了，三极管的基本原理其实很简单，对它的分析和前面的基尔霍夫定律的分析方法几乎是完全一样的，它仅仅换掉了欧姆定律。

你要这样想这个问题：在我们利用基尔霍夫定律看待一个电路的时候，欧姆定律其实是在我们的方程（等式）上放了一个线性多项式（欧姆定律的IR=V公式，虽然只有一项），而三极管不过是把这个多项式换成了一个非线性的多项式（关键是这个多项式甚至写不出公式来，我们只能把那条公式画成一个函数图像来给你看），想明白这一点，所有的分析逻辑，就都可以打通了。

在我们介绍怎么看电路前，我们大概理解一下什么是“半导体”。所谓“导体”，就是物质里面有大量的自由电子，所以一旦遇到电压，自由电子就在电场的作用下，快速移动，形成电流。由于电子的量足够大，所以形成了一个线性效应（也就是欧姆定律）：你给多大的电压，就能产生多大的电流，因为电子管够。而所谓绝缘体，就是没有自由电子的物质，所有的电子都被锁死的原子结构上（比如共价键上），电子只能停留在那里，你加一般大小的电场，它都不会移动，这样就算你给多高的电压，它也没有电流可以产生。

而半导体是什么呢？我以前老在想这东西是不是就是个大电阻，其实它不是，它的物质都是那种原子电子要不是3，要不是5的物质，这样正好和第一层4个电子的稳态差一点点，所以它没有很多自由电子，但也不是完全没有。所以才叫它半导体。它不像电阻，电阻有很多的自由电子，只是移动会产生热消耗掉而已。它干脆就不够电子用，所以它是非线性的，低电压的时候它像个电阻，好像电压高一点，电流就大一点。但等你把电压加高了，它的电流也不会线性增加，因为它不够电子用。所以半导体本身就不符合欧姆定律，具体符合什么，公式是啥，我也没有研究过。反正它不是线性的就行。

但人们喜欢就喜欢它这个非线性，因为非线性就意味着它可以产生变化，不会像电阻这样，加大多少电压，就产生多少电流，如果我只是要控制一个线性的东西，这东西有用，但如果我想控制一个不是线性的东西，比如开关，电大到一定的程度就会断，这东西线性的电路永远都解决不了。但非线性的东西我只要找一个拐点，就可能在这个位置上制造一个开关。

二极管就是这种思路的产物，它通过在半导体上加上一些杂质来控制自由电子（或者正电空穴）的数量，然后把两种不同的半导体（P是Positive，多了空穴，N是Nagative，多了电子）拼在一起，正好就产生了一个内部的反向电动势……这些东西的深入原理，其实我们也不用关心（有兴趣确实也可以查一下资料看看），反正我们知道这样制造了以后，我们就得到一个器件，它和电阻不同，它的方程不是线性的，而是一条曲线：

.. figure:: _static/电阻和二极管的伏安曲线对比.svg

电阻和二极管的伏安特性对比

其实严格来说，电阻也不是线性的，你加的电压足够大，把它烧坏，它一样不能保持欧姆定律那种线性关系。只是它的线性区比较大，你一般不会超过范围而已。但二极管这种东西在不同电压上的行为是明显不一样的，稳压区那里，电压你怎么加都加不上去，它就可以用来做那个范围的稳压电路，比如可以做成这样：

.. figure:: _static/OIP-C.jpeg

稳压电路（网络图片）

输入的电压怎么变化，到了它的稳压区，电压就上不去（消耗在那个电阻上了）。我们就利用它这一段的规律，专门把它用来稳压这个范围的电压。它能稳的电压也固定是二极管伏安特性中的那个范围，不能随便你说改就改的。我以前把这个东西当数学学，觉得什么指标的二极管都能做出来，其实根本就不行，一个二极管的伏安特性是什么样的，也就那几种可能，你要根据它的伏安特性来搭电路，而不是你自己随便可以选择的。

这就是工程和理论的区别，理论希望你记一条公式，各种情况都能算出结果来。工程使用你会发现，你的理论可以用的数据也就那几个。

下面这一段用了截止区和饱和区的特点，专门用于把交流电变成直流电：

.. figure:: _static/桥式整流.jpeg

桥式整流电路（网络图片）

这也是只有一段范围可以用的。我们理解这些工程上的问题，就会知道我们到底在解决什么问题。

好了，现在我们开始正式看三极管。三极管难搞明白，其实本质就是它是个比较混沌的系统，你看过《三体》，知道三个质点的运动特点，就算给你所有的参数，合并起来就写不出公式。三极管其实类似，只有一个PN结的二极管已经是一个非线性系统了，然后有两个 PN结的三极管，它的行为就非常的缺乏规律。所以其实我们根本就没有打算用一条公式写出它的特征来，只是总结一些总体的规律，然后直接用基尔霍夫定律来解的，解出什么就是什么。这在线性分析的时候一样，基尔霍夫分析的时候，你其实也分不出你的电阻到底是串联的还是并联的，你不过是用一些必然成立的规律来列方程而已。

总的来说，三体问题也不是不能解，只是没有通用公式而已。三极管其实也没有通用公式，但工程上在特定条件下可以找到一些规律，所以我们可以在某种设定下找到使用它的方法。这就是工程研究区对于理论研究的核心区别。这个思想贯穿整个工科的研究思路，是我们学工科的学生必须理解和掌握的核心思想。

三极管的伏安特性总结出来是这样的：

.. figure:: _static/三极管伏安特性曲线.png

参考电路如下：

.. figure:: _static/三极管放大电路.png

你注意一下上面那幅图，这里其实用了控制变量法，因为有三个要素，你要它画出三个变量都线性变化的曲线，那需要是一幅三维的图，那个图很难测量，所以这个伏安特性是先控制了基极的入电流，然后单独测量集电极的伏安特性。然后它就发现规律了：

只要基极电流不变，那么集电极的电压在过了饱和区以后，电流就不再随着电压上升了（放大区）
基极电流越大，这个放大区的水平线就越高（而且成线性关系）

如果你敏感一点，你就会发现，这是个波形放大器：如果基极电流是一个波 :math:I_b=f(t) ，只要我们能让三极管工作在放大区，那么 :math:I_c=f(t) \cdot \beta 。 :math:\beta 是基极电流和集电极电流的线性比例。

我们用电阻不可能实现这个效果，因为电阻是线性的，你最多实现加法，但这里实现的是个乘法。所谓放大电路，利用的就是这个特性：你给定一个波（比如一个声音），它能把这个波放大（而不是线性提高它的电流或者电压，是乘法，而不是加法）。

.. figure:: _static/乘法和加法的对比.svg

乘法和加法的对比

其实三极管和电阻一样，都是不能保存电荷的，所以，三极管本身，也符合基尔霍夫电流定律，三个极流入多少电流，就得出来多少电流。所以它自己并没没有放大电流的作用，它只是控制了外面电池供应电流的方式。这一点也和电阻一样，只是电阻对电源的控制呈现一个线性方程，三极管压根儿就不是个典型方程而已。

所以，分析这样的电路，只能是确定了一个控制变量，然后继续列方程，求剩下的电路特征。对于三极管，你现在手上多了这么一条公式（仅在放大区成立）： :math:I_c=I_b*\beta 。这样，你就多了一条方程，你如果能确定你的三极管当时是工作在放大区，那么这条公式就可以用，如果不在放大区，那就另说。所以觉得电路不好学，只是你以为你手上的筹码还和线性电路一样多而已，你知道你只能解决部分的问题，布置或者分析电路的时候顺着这些条件区，解决方法其实是一样的。

三极管还有其他的基于这些不同区的应用方式，比如用于计算机的数字运算，这些原理都是一样的，你只要明白，不同的工作区，用的公式是同的，具体情况跟着课本学就可以了。

附录

看一道题

现在我们看一道题，这是课本上的一道题：

.. figure:: _static/三极管例题1.svg

三极管例题1

已知 :math:\beta=50, E_C=12V, R_C=3K\Omega ，求当 :math:I_B=40, 100, 0\mu A 时， :math:U_CE=? , I_C=? 。

我们不知道电路工作在哪个工作区，但放大区最大，而且这个电路搭成放大电路的样子，我们就先当作放大电路来列方程，分析完以后如果和放大区的伏安特性对不上，我们再换一个工作区来算。所以，对于 :math:I_B=40\mu A ，我们有：

:math:I_C = 50 \cdot 40\mu A = 2mA （三极管电流放大公式）
:math:I_E = I_C + I_B = 2040\mu A （基尔霍夫电流公式）
:math:U_{RC} = 2mA \cdot 3K \Omega = 6V （欧姆定律）
:math:U_{CE} = 12V - 6V = 6V （基尔霍夫电压公式）

然后我们对比这些结果是不是在这个三极管的伏安特性工作区，如果是，这个结果就是我们要的结果了。（如果不是，那就要换一个工作区的伏安特性来算了）

所以，尽管题目中让我们求三个结果，从数学上好像可以用一样的方法算，但其实如果工作区不同，可能结果就是不同的。但这个题就没提这个三极管的参数特征，但其实目的应该是挺明显的，第一个基极电流40中规中矩，应该在放大区，第二个特别大，猜在饱和区的可能性比较高，第三个明显就是截止区了。

这些都可以算出来以后和重新验证，而且我建议可以考虑记住它，以后看到一些参数，就可以和这个基线做类比，大概猜一下电路的特性。

我们拿第二个例子 :math:I_B=100\mu A 做个验证。如果按放大电路来算，我们可以得到：

:math:I_C = 50 \cdot 100\mu A = 5mA
:math:I_E = I_C + I_B = 5100\mu A
:math:U_{RC} = 5mA \cdot 3K \Omega = 15V
:math:U_{CE} = 12V - 15V = -3 V

这都跑到负电压区去了，显然就不是放大区。这样我们就只能换成饱和区来算。

.. note::

网上有人总结说通常用 :math:I_B \cdot \beta > V_{CC} \div R_c 作为进入条件，一旦I_B的值大于负载一侧在最极端情况下的值（把CE两个电极之间看作导体），就开始进入放大区了。实际使用的时候会比这个大几倍的位置上用，这样就比较保险。

按这种算法， :math:100\mu A \cdot 50 = 5mA > 12V \div 3K \Omega = 4mA 所以立即就可以判断它工作在饱和区。

饱和区的计算我不知道教材是是怎么教的，这个不同二极管有不同参数，我随便从网上查到的数据是在这个区，集电极固定是0.3左右，发射极固定是0.7左右。

所以 :math:I_C = (12V - 0.3V) / 3K \Omega = 3.9 mA 。

说起来，这个东西数学计算挺简单的，所以，电学在数学上就不是什么困难的问题，真正的困难是工程问题，比如干扰，工作点偏移，前后级电路，内阻这些东西，才是工程上电路分析和电路设计的真正问题。

什么是输入输出电阻

这里补充一下什么是输入输出电阻，以及为什么要关注它。

在一个放大电路里面，我们说电流被放大了，我们是这样画图的：

.. figure:: _static/放大电路.svg

我们先用直流电把三极管控制放大区上，然后在这个上下制造一个波动（通过引入一个信号源，比如放一个麦克风），这样，理论上我们在Rc上的电流就也有以放大倍数那么大的一个方式波动了。

但这都是理论上的，实际上一旦你真的做一个电路，在 :math:R_C 上放一个喇叭，喇叭本身的电阻没法任你选择的，它的电阻就是固定的，这就是负载本身的内阻（内部电阻），又称为输出电阻。同样，麦克风不是导线，它也是有电阻的，这个电阻就是它的输入电阻，还有电源也是有内阻的。这样考虑起来，电路应该是这样的：

.. figure:: _static/放大电路_含内阻.svg

这样处理起来就麻烦了，工程的麻烦事主要是这种类型的。最好当然我们能找到一些内阻特别小的电源和输入器件，内阻特别大的输出期间（如果这个输出是电压驱动的话），但最终计算都是要考虑这些要素的。

什么是工作点和工作范围

很多书讲完放大电路就直接看是说工作点，很多人（我自己也是）一开始会跳不过去：怎么没介绍就开始说“工作点”了呢？

其实这个概念是隐藏在电路的介绍中的：一个放大电路，主要就工作在放大区，然后我们用控制变量法，告诉你直流电输入 :math:I_{B1} 的时候， :math:I_{C} 是多少，变成 :math:I_{B2} 的时候， :math:I_{C} 又变成多少……而我们又知道了，这两个参数的曲线，有一段是线性的，我们如果能保证电流一直在这个范围里面运动，输入的电流就和输出的电流成倍数关系，那这一段就是所谓的放大区，会有这样一个公式：

:math:I_C = I_B \cdot \beta

所以，如果你输入一个波形，正好在这个范围里面，那输出的波形就不会保持原来的样子，只是放大了。但如果你超过这个范围呢，这个波形就走样了（失真）。因为你乘进去的就不是一个常数了。这种东西，你拿个示波器一侧就有感觉了。我手头没有示波器，我用 iCircuit给你模拟一下，下面是一个标准放大电路，我先选择了一个1V的交流信号源，下图上面的波形是我选中这个信号源的时候它显示的波形：

.. figure:: _static/三极管放大波形1.jpg

然后我改选它的输出（电路上我用了一个8K的电阻作为负载的内阻）：

.. figure:: _static/三极管放大波形2.jpg

这个波形和前面的波形就是一样的（但如果你在软件中详细看参数，你会注意到后面的纵坐标其实是更大的。

但如果现在我把输入的最大电压调整到5V。这个波形超过范围了，它的波形就会变成这样：

.. figure:: _static/三极管放大波形3.jpg

其实如果你仔细看，这个波形在放大区还是保持原样的，只是在超过的范围里面走样而已。

（如果你手头没有示波器，作为基本的学习，我建议也可以在Windows App Store上装一个iCircuit，这样，大部分基本电路你都可以随便看波形的变化，很容易理解。）

在前面这个电路中，为了保证那个变化的波形一直在放大区，我们不能直接给定一个普通的信号，因为比如麦克风这种输入源给的信号，基本上是在0上下跳。但0又不在放大区里面，这怎么解决呢？——显然，看这个电路你也猜到了，在这个输入源上叠加一个直流电压，把电压抬高到放大区上就行。我们尽量先用直流电把电路抬高到放大区的中间，然后让交流信号在这个中间位置上下跳动，这样我们就可以放大了。

这个放大区中间的位置，就叫做工作点，我们先不加信号，用直流电把电路抬高到工作点，然后加一个不会超过范围的信号，这个电路就能工作在合适的状态了。

所以，大部分三极管的配套电路都是固定的样子，电阻是多少，都是有套路的，按着这个参数去搭，就能成为放大电路。工程上的问题是，三极管的工作点是随着温度会变化的，所以，工程上真正的问题是要注意一下这个工作点和温度之间的关系，要保证工作点漂移了，你都能在工作范围内。你的收音机声音不能太大（放大区的范围），有温度限制（工作点和其他影响），都来自这些问题。

最后一个问题是：输入加了一个直流电来保证工作点，那输出的不也有这个（放大的）直流电了？怎么解决这个问题呢？

结论你其实在图中已经看见了：加电容就可以了。

电容的电气特性可能以后会学，中学可能也知道一些。但其实现在可以简单这样理解：

电容可以充电再放电，所以它能改变电流/电压的波形。这个计算可以很复杂，但我们也可以很简单地理解：它是一个高通滤波器。

什么意思呢？学数学分析迟早会学到：任何一个可以循环的波形，都可以转化为一个级数（这称为傅里叶变换，是整个通讯产业得以存在的基础）：

:math:f(x) = N + sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + ...

这些级数的项，x越大，频率越高，电容的作用是频率越高，就越容易保持波形通过。所以，如果我们只是定性分析放大电路，你就可以简单认为，这个公式中的N，是必然不能通过高通（高频可以通过）滤波器的。所以，所有的波形到了输出，经过这个电容以后，就没有直流的成分在里面了。这个特征，你可以用iCircuit模拟一下。这只要放一个交流电源，经过电容，看看负载的波形变化就可以了。特别可以调整一下电容的容量，可以看到电容越大，波动就会越平缓。这很容易猜到：电容越多，你给进去越多的电流，电容都能给你存起来，你给的电流越少，电容反过来可以补回去给你，所以到最后，变化越激烈就越被抹平（但那个级数的项还是通过电容了）。