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title: 社区发现算法 - Louvain

概述

图是由节点和节点之间的边构成的一种结构，比如社交网络中人与人之间的关系、全球各个城市的交通连接情况，都可以表达成一个图结构。

社区发现是指图结构中存在聚集的一个节点集合，比如社交网络中的一个个人际圈子会组成一个个社团，在交通的图结构中，每个国家的城市集合就可以表达为一个社团。

社区发现发现算法就是依据图结构数据，来寻找聚集性社区的算法，正确的社区划分对下游业务应用有重要意义。louvain 是最常用的社区发现算法，以优化模块度为目标对群体进行划分。

模块度定义

模块度是对社区划分好坏程度的一种度量，当社区内部的点之间连边越多，社区之间的点连边越少时，模块度越大，表示当前的社区划分情况越好，公式定义如下：

$$Q=\frac{1}{2m}\sum{i,j}{(A{i,j}-\frac{k_ik_j}{2m})\delta(c_i,c_j)}$$

其中 $m=\sum\limits{i,j}{A{ij}}$ 表示所有边权和，$A_{ij}$ 表示节点 $i$ 和 $j$ 之间的权重，$ki=\sum\limits{j}{A_{ij}}$ 表示与 $i$ 相连的所有边的权重和，$c_i$ 表示节点 $i$ 所在的社区，$\delta(x, y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 是否相同，是的话为 1，否则为 0。

公式并不好直接理解，进行一定的变换可得 $$ \begin{align} Q &=\frac{1}{2m}\sum{i,j}{(A{i,j} \delta(c_i,c_j) - \frac{k_i k_j * \delta(c_i,c_j)}{2m})} \ &= \frac{\sum\limits_c{in_c}}{2m} - \frac{\sum\limits_c{tot_c^2}}{2m} \end{align} $$

其中 $c$ 表示社团，$inc = \sum\limits{i{\in}c}{\sum\limits{j{\in}c}{A{i,j}}}$ 表示社区 c 中所有节点的之间的边权和，$totc=\sum\limits{i{\in}c}{k_i}$ 表示社区 c 中所有节点与其他节点的边权和。

模块度前一项描述的是社团内节点之间的边权，该值越大，模块度越大。第二项描述每个社团中所有节点的边权和平方，分母为常量，当所有节点（严格来说是节点的度，即边权）在不同社区中分布越均匀，第二项越小，模块度越大。（第二项重要程度与社团实际的分布情况有关，比如风控场景社团大小分布极不均匀，就会导致第二项结果偏大，模块度偏小，导致模块度的优化目标与实际场景冲突）

Louvain - 模块度优化

louvain 以最大化模块度为优化目标，根据模块度公式，整个社区的模块度可以以各个社区为单位计算后求和得到，louvain算法的流程如下

初始化

将社团中每个节点都看做一个单独的社区。

阶段1：节点合并

遍历所有节点，计算当前节点脱离当前社区，且加入到邻居节点所在社区时，带来的模块度增益，把当前节点移动到增益最大的邻居节点社区中。

每次计算节点 i 从社团 D 移动到社团 C 中时，根据模块度计算公式可知，此时产生的模块度变化只与当前C、D社区相关，不与其他社区相关，因此计算成本较低，将节点 i 从社区 D 转移到 C 中带来的模块度增益为： $$ \begin{align} {\Delta}Q &= {\Delta}Q(C \rightarrow i) + {\Delta}Q(i \rightarrow C) \ &= \Delta Q(C \rightarrow D) \ &= (\frac{in{D+i}}{2m} - \frac{tot{D+i}^2}{2m}) + (\frac{in{C-i}}{2m} - \frac{tot{C-i}^2}{2m}) - (\frac{in_{D+i}}{2m} - (\frac{tot_D^2}{2m}) - (\frac{in_C}{2m} - (\frac{totC^2}{2m}) \ &= \frac{in{D+i} + in_{C-i} - in_D - inC}{2m} - \frac{tot{D+i}^2 + tot_{C-i}^2 - tot_D^2 - totc^2}{4m^2} \ &= \frac{(in{D+i} - inD) + (in{C-i} - inC)}{2m} - \frac{(tot{D}+k_i)^2 - totD^2 + (tot{C}-k_1)^2 - totc^2}{4m^2} \ &= \frac{\sum\limits{i \in D}A{i,j} - \sum\limits{i \in C}A_{i,j}}{2m} + \frac{k_i*(tot_C - tot_D)}{2m^2} \end{align} $$

从模块度增益公式中可以看出，节点 $i$ 与社区 D 中节点的边权比与社区 C 中的边权大的越多，越容易使节点 $i$ 转移到 D 中。第二项代表当社区 C 比社区 D 大的越多，越容易发生节点 $i$ 从 C 到 D 的转移，使得社团的整体分布更均匀。

直至节点移动不再产生增益，阶段1停止。

阶段2：社区聚合

将同一个社区的多个节点，融合为一个新的节点，社区内节点之前的权重后续不再使用，当前社区与其他社区之间的权重为两个社区所有节点的权重和，从而构建出新的图结构。回到阶段1不断迭代，直至图结构不再产生改变。

louvain基于贪心算法实现，阶段1不断进行节点移动的尝试，复杂度可能超过 O(max(M, N))，因此整体最坏的复杂度不好预估，实际情况中的平均复杂度为 O(nlog(n))，当每一轮迭代中节点数量降低一半时，能达到平均复杂度。

整体流程如下：

优缺点

优点

平均时间复杂度较低，计算速度相对较快。
支持定义边权
包含层次结构的社团，可以依据社团大小、社团特殊属性来限制最后形成的社团。类似决策树中根据增益、叶子节点数量来限制节点分裂

缺点

多轮迭代，不支持流式系统
最差时间复杂度较大，小概率遇到边界数据时，耗时较长。
实际情况中数据分布不均匀时，模块度定义的第二项会产生一定负干扰。

优化思路

模块度的最优求解本身是个 NP 问题，即时间复杂度为 O(M!)，常规数据中无法在短时间内求到最优解。louvain就是利用贪心算法对求解过程做了一定优化，但在 louvain 的基础上，或许还可以做以下优化：

在阶段1只进行一次节点合并，保证获取的结果更优，但时间复杂度上升到为稳定的 O(M*N)
利用边介数的概念对社团中的边进行关于合并优先级的排序，边介数定义为：社团中任意两个点的最短路径通过该边的次数。边界数越大，越应该更早进行该边的合并。但边介数的计算方式需要计算任意两点的最短路径，复杂度为 O(M*N)，计算完毕后节点合并的复杂度为 O(M)，则整体复杂度为 O(M*N)。此方案虽然整体复杂度较高，但因不需要多次迭代，相比 louvain 更容易适配到流式计算系统中，每次新增一个节点和边时，需要的计算量为 O(M)。
实际数据中社团分布不均匀时，建议降低模块度中第二项的权重。

以上思路暂未实现考证，欢迎读者实践、讨论。

参考

原始paper：https://arxiv.org/abs/0803.0476 stanford keynote：http://web.stanford.edu/class/cs224w/slides/14-communities.pdf louvain：https://towardsdatascience.com/louvain-algorithm-93fde589f58c 模块度优化：https://www.cnblogs.com/fengfenggirl/p/louvain.html