layout: post title: "GRE的一道数学题目的总结和拓展" date: 2015-01-26 04:17 comments: true
1.24号考了这个学期的第三次GRE考试，虽然结果不是特别理想超出预料,但是也不错了．
155+167
其实上完微臣后，我还是想在多给自己一些时间复习的．但是因为各种原因仓促上阵，同时给自己的复习节奏不是特别好，这就导致了现在的结果．也是需要改进的地方．因为导师和实验室的年终考核等等堆积在一起，倒是有现在这个结果该知足了．
不过这篇博文的重点不是这个，而是考试的时候在加试部分遇到的一道题目．
其实现在想来还是挺简单的一道小学四年级的奥数题目，但是当时完全陷入了自己的思维怪圈没有理解过来题目到底是怎么回事．
因为签署了保密协议所以不能透露题目，但是我可以改变下题目把最最重要知识点告诉大家．下面基于小学奥数题目给大家做一做．
核心知识点就是"标数法"．
<!--more-->两道奥数题目给大家热热身．
如图，在某城市中，M、N两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从M到N不同的走法共有（ ）
正确答案：15种
如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M为止． （1）求甲经过A2到达N的方法有多少种； （2）求甲、乙两人在A2处相遇的概率； （3）求甲、乙两人相遇的概率．
答案：
解：（1）甲经过A2，可分为两步： 第一步，甲从M经过A2的方法数为 $C_3^1$ 种；
第二步，甲从A2到N的方法数为$C_3^1$种；
所以甲经过A2到达N的方法数为 $(C_3^1)^2$ =9种．
（2）由（1）知，甲经过A2的方法数为 $(C_3^1)^2$ ；
乙经过A2的方法数也为 $(C_3^1)^2$ ．
所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为$(C_3^1)^4$=81；
甲、乙两人在A2处相遇的概率为
$$ P=\frac{(C_3^1)^4}{C_6^3 C_6^3}=\frac{81}{400} $$
（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，
他们在Ai（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C3i-1）4种方法；
所以：
$$ (C_3^0)^4 +(C_3^1)^4 +(C_3^2)^4 +(C_3^3)^4 =164 $$
故甲、乙两人相遇的概率P= $\frac{164}{400}$
答：（1）甲经过A2到达N的方法数为9种；
（2）甲、乙两人在A2处相遇的概率为 $\frac{81}{400}$
（3）甲、乙两人相遇的概率 $\frac{41}{100}$．
这里主要参考了奥数网的知识讲解，链接如下计数方法与技巧:标数法例题精讲
这是我在搜索资料的时候看到的真是无语了，奥数题目已经进化到这个地步了，真是令人无语了．
详解请见视频: 阶梯型标数法
好吧，我不得不说，我不是特别会这种题目的解法．