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title: '算法:整数中1出现的次数' cover: https://img.paulzzh.com/touhou/random?40 categories: 算法题目 date: 1996-07-27 08:00:00 tags: [算法题目, 数学]

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整数中1出现的次数

整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)

求出1-13的整数中1出现的次数,并算出100-1300的整数中1出现的次数?

为此他特别数了一下1-13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。

ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数(从1 到 n 中1出现的次数)。


分析

像类似这样的问题,我们可以通过归纳总结来获取相关的东西。

首先可以先分类:

个位

我们知道在个位数上,1会每隔10出现一次,例如1、11、21等等,我们发现以10为一个阶梯的话,每一个完整的阶梯里面都有一个1,例如数字22,按照10为间隔来分三个阶梯,在完整阶梯0-9,10-19之中都有一个1,但是19之后有一个不完整的阶梯,我们需要去判断这个阶梯中会不会出现1,易推断知,如果最后这个露出来的部分小于1,则不可能出现1(这个归纳换做其它数字也成立)。

我们可以归纳个位上1出现的个数为:

n/10 * 1+(n%10!=0 ? 1 : 0)

十位

现在说十位数,十位数上出现1的情况应该是10-19,依然沿用分析个位数时候的阶梯理论,我们知道10-19这组数,每隔100出现一次,这次我们的阶梯是100,例如数字317,分析有阶梯0-99,100-199,200-299三段完整阶梯,每一段阶梯里面都会出现10次1(从10-19),最后分析露出来的那段不完整的阶梯。我们考虑如果露出来的数大于19,那么直接算10个1就行了,因为10-19肯定会出现;如果小于10,那么肯定不会出现十位数的1;如果在10-19之间的,我们计算结果应该是k - 10 + 1。例如我们分析300-317,17个数字,1出现的个数应该是17-10+1=8个。

那么现在可以归纳:十位上1出现的个数为:

百位

现在说百位1,我们知道在百位,100-199都会出现百位1,一共出现100次,阶梯间隔为1000,100-199这组数,每隔1000就会出现一次。这次假设我们的数为2139。跟上述思想一致,先算阶梯数 完整阶梯中1在百位出现的个数,即n/1000 100得到前两个阶梯中1的个数,那么再算漏出来的部分139,沿用上述思想,不完整阶梯数k199,得到100个百位1,100<=k<=199则得到k - 100 + 1个百位1。

那么继续归纳百位上出现1的个数:

后面的依次类推....

再次回顾个位

我们把个位数上算1的个数的式子也纳入归纳式中

归纳式看起来已经很规整了。

来一个更抽象的归纳,设i为计算1所在的位数,i=1表示计算个位数的1的个数,10表示计算十位数的1的个数等等。

好了,这样从10到10的n次方的归纳就完成了。

但是有一个地方值得我们注意的,就是代码的简洁性来看,有多个ifelse不太好,能不能进一步简化呢?

我们可以把后半段简化成这样,我们不去计算i * 2 - 1了,我们只需保证k - i + 1在[0, i]区间内就行了,最后后半段可以写成这样

min(max((n mod (i*10))−i+1,0),i)

链接:https://www.nowcoder.com/questionTerminal/bd7f978302044eee894445e244c7eee6?f=discussion

解答来源:牛客网


代码

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        if (n <= 0) return 0;
        int count = 0;
        for (long i = 1; i <= n; i *= 10) {
            long divider = i * 10;
            count += (n / divider) * i + Math.min(Math.max(n % divider - i + 1, 0), i);
        }
        return count;
    }
}