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layout: post title: 一维谐振子薛定谔方程的数值解 categories:

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2015-07-05 16:28:58

对微分方程

$$\left({d^2 \over dx^2}+f(x)\right) y(x)=0$$

可采用努梅罗夫方法 求其数值解. 求解时, 先对 $x$ 进行均匀离散化. 若已知前面两点 $$x_{n-1}$$, $$xn$$ 的解 $$y{n-1}$$, $y_n$, 则后一点的解可写为

$$y_{n+1}={[24-10f(x_n) h^2]yn - [12+f(x{n-1}) h^2] y{n-1} \over 12+f(x{n+1}) h^2 }$$

其中 $h=xn-x{n-1}$ 为离散间距.

一维薛定谔方程可写为如下形式:

$$\alg -{\hbar^2 \over 2\m}{d^2 \over dx^2}\Y+V\Y=E\Y \ {d^2 \over dx^2}\Y+{2\m (E-V) \over \hbar^2}\Y=0 \ \left( {d^2 \over dx^2}+{2\m (E-V) \over \hbar^2} \right)\Y=0 \ealg$$

与上面的微分方程对比可知

$$f(x)={2\m (E-V) \over \hbar^2}$$

因此可利用此方法求解任意势能函数下一维薛定谔方程的数值解. 下面是用于求解一维谐振子薛定谔方程的小程序, 可用于求解其能量本征值.

未完成

1. 添加标尺, 密度函数
2. 不同的势能函数
3. 距离太大时发散

<div id="ctn" style="border:dotted 5px #ccc;width:600px"></div> 质量<input type="box" id="mass" value="1"> 能量<input type="box" id="tryEng" value="0.5"> 步长<input type="box" id="step" value="0.01"> Xmin<input type="box" id="minX" value="-5"> Xmax<input type="box" id="maxX" value="5"><br>

<input type="button" id="play" value="求解">