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layout: post title: 取整截断函数及其在PBC中的使用 categories:

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2013-08-13 14:05:39

取整和截断相关的函数, 有着各种不同的名称, 不同的定义, 很容易让人迷惑. 它们之间根据具体情况还可以相互转换成不同的写法, 更增添了混乱. 下面整理Fortran和C中的相关函数.

此外, 数学上还会使用如下去整函数

$frac(x)={x}=x-\lfloor x \rfloor=mod(x,1)$

以上这些函数组合起来, 基本能满足各种需要了.

下面是各个函数的图像, 数值可参看附表

由图像与数值可知

$$int(x) = [x] = \begin{cases} \lfloor x \rfloor, & x>0 \ \lceil x \rceil, & x<0 \end{cases}$$

$$nint(x) = \begin{cases} int(x+1/2) = \lfloor x+1/2 \rfloor, & x>0 \ int(x-1/2) = \lceil x-1/2 \rceil, & x<0 \end{cases}$$

周期性边界条件PBC在使用时有两种情况, 设盒子长度为L, 粒子坐标为x

1. 以左下角为坐标原点, 坐标 $x \in [0,L)$, 为使粒子处于盒内, 须 $x=x-\lfloor x \rfloor$
2. 以中心为原点, 坐标 $x \in [-L/2,L/2)$, 常用于计算粒子之间距离, 此时又分两种情况
   • x满足 $x \in [0,L)$, $$x = \begin{cases} x-L, &x>L/2 \ x+L, &x<-L/2 \end{cases}$$ 也可写为更紧凑形式: $x=x-sign(L,x), |x|>L/2$
   • x未必满足 $x \in [0,L)$, 一般情况 $$x=x-nint({x \over L})L=\begin{cases} x-[x/L+1/2]L = x-\lfloor x/L+1/2 \rfloor L, &x>0 \ x-[x/L-1/2]L = x-\lfloor x/L-1/2 \rfloor L, &x<0 \end{cases}$$

另外, 若想实现一定时间间隔 $\Delta t$ 取样, 本可利用 $mod(t, \Delta t)=t-\lfloor t/\Delta t \rfloor$ 实现. 但由于取整问题（前面说过）, 遇到特定时间间隔时就会失效, 变通的方法是判断 $t$ 恰好能被 $\Delta t$ 整除, 即t的小数部分 ${t}$ 为零. 用 $t-nint(t/\Delta t)\Delta t$ 或 $mod(t+\Delta t/2, \Delta t)-\Delta t/2$ 可避免此问题.

参考

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Periodic_boundary_conditions