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layout: post title: 材料弹性模量各向异性的三维图示方法 categories:

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• 2014-04-17 21:21:03 感谢硕士生 伊国辉 整理此文
• 2015-03-05 09:31:31 修正公式错误
• 2016-06-30 09:14:23 增加不同晶系代码. 感谢 吴俊彦 校对公式.
• 2017-04-20 15:15:19 添加正交晶系测试, 投影图代码
• 2017-07-19 10:25:31 添加六方晶系测试, 合并剪切模量代码

背景原理简介

• 力学中的“模量”

各向异性广泛存在各种材料之中. 什么是各向异性呢? 简单来说, 就是晶体在不同方向有不同的性能. 我们很容易把各向异性和不均匀性混淆, 其实这是两个完全不同的概念. 各向异性就是说材料的性能与方向有关, 而不均匀性是指材料的性能与部位有关. 拿单晶来说, 内部任一点, 结构与性能都是相同的, 但不同方向却有不同的性能.

晶体是各向异性的, 不同方向性能不一样, 而且有着严格的对称性. 这里要说一下, 对称性是一个很了不起的性质, 在数学, 物理学中都有着广泛的应用, 而且在材料性质的分析中也常用到. 多晶材料存在择优取向, 也有一定的各向异性.

各种材料都有弹性, 大多数材料的弹性性质也具有各向异性. 例如, 在立方晶体中[111]方向通常比[100]方向更难压缩(stiff). 当我们对材料施加载荷, 材料会发生相应的形变, 在弹性范围内, 形变遵循胡克(Hook)定律, 即应力与应变是线性关系, 可以表示为 $\s = C \ve$, 其中, $\s$ 是应力, $\ve$ 是应变, $C$ 为杨氏模量(或称弹性模量), 也常用 $E$ 或 $Y$ 来表示.

材料不同方向上弹性模量不同, 我们怎么描述这种不同呢? 最好用数学方法, 建立数学框架, 准确直观地将弹性各项异性描述出来. 下面我们就进行这种数学的描述. 本人数学水平有限, 不能一步一步推导, 但我们可以简要理解一下推导过程. 弹性各项异性的推导就是利用张量和群论推广胡克定律. 我们先只考虑低阶弹性常数. 考虑二阶的 $C_{ijkl}$, 原来的胡克定律 $\s = C \ve$ 可推广为为矩阵形式

$$\boldsymbol \s =\left( \begin{array}{c} \s_1 \ \s_2 \ \s_3 \ \s_4 \ \s_5 \ \s6 \end{array} \right) =\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & C{14} & C{15} & C{16} \ C{21} & C{22} & C{23} & C{24} & C{25} & C{26} \ C{31} & C{32} & C{33} & C{34} & C{35} & C{36} \ C{41} & C{42} & C{43} & C{44} & C{45} & C{46} \ C{51} & C{52} & C{53} & C{54} & C{55} & C{56} \ C{61} & C{62} & C{63} & C{64} & C{65} & C_{66} \ \end{bmatrix} \left( \begin{array}{c} \ve_1 \ \ve_2 \ \ve_3 \ \ve_4 \ \ve_5 \ \ve_6 \end{array} \right) =\mathbf C \boldsymbol \ve$$

可以证明, 刚度矩阵 $\mathbf C$ 为对称阵, $C{ij}=C{ji}$. 因此, 独立张量元数目至多只有21个. 晶系的对称性越高, 独立的张量元数目就越少. 需要指出的是, $C_{ij}$ 的数目只与晶系有关, 而与晶系中具体的对称类型无关.

$\mathbf C$ 的逆矩阵 $\mathbf S$ 称为柔顺矩阵. 利用 $\mathbf S$ 可得到杨氏弹性模量的一般表达式. 我们用与[100], [010], [001]三个晶向的方向余弦来表示任意方向的杨氏模量. 设 $l_1, l_2, l_3$ 为空间某一方向与晶体主轴的方向余弦, 空间任一方向的杨氏模量 $E$ 的大小只与方向有关, 具体表达式如下

$$\alg 1/E= S_{11} l1^4 &+ 2 S{12} (l_1 l2)^2 &+ 2S{13} (l_1 l3)^2 &+ 2 S{14} (l_2 l_3 l1^2) &+ 2 &S{15} (l_3 l1^3) &+ 2 &S{16} (l_2 l1^3) \ &+ S{22} l2^4 &+ 2S{23} (l_2 l3)^2 &+ 2 S{24} (l_3 l2^3) &+ 2 &S{25} (l_1 l_3 l2^2) &+ 2 &S{26} (l_1 l2^3) \ & &+ S{33} l3^4 &+ 2 S{34} (l_2 l3^3) &+ 2 &S{35} (l_1 l3^3) &+ 2 &S{36} (l_1 l_2 l3^2) \ & & &+ S{44} (l_2 l3)^2 &+ 2 &S{45} (l_1 l_2 l3^2) &+ 2 &S{46} (l_1 l_3 l2^2) \ & & & &+ &S{55} (l_1 l3)^2 &+ 2 &S{56} (l_2 l_3 l1^2) \ & & & & & &+ &S{66} (l_1 l_2)^2 \ \ealg$$

写为矩阵元素加和的形式为

$$\alg 1/E &= \Sum{m=1}^3 \Sum{n=1}^3 \Sum{p=1}^3 \Sum{q=1}^3 S_{mnpq} l_m l_n l_p l_q \ &=\Sum(\mathbf S \mathbf L^T \mathbf L) \ \mathbf L &=(l_1^2, l_2^2, l_3^3, l_2l_3, l_1l_3, l_1l_2) \ealg$$

一种较对称, 方便推导的形式为

$$\alg 1/E&=S_{11} l1^4 + S{22} l2^4 + S{33} l3^4 \ &+ (S{44}+2S_{23}) (l_2l3)^2 + (S{55}+2S_{13}) (l_1l3)^2 + (S{66}+2S_{12}) (l_1l2)^2 \ &+ 2\left[(S{14}+S_{56}) l1^2 +S{24} l2^2 + S{34} l_3^2\right] l_2 l3 \ &+ 2\left[S{15} l1^2 +(S{25} +S_{46}) l2^2 + S{35} l_3^2 \right] l_1 l3 \ &+ 2\left[S{16} l1^2 +S{26} l2^2 + (S{36}+S_{45}) l_3^2\right] l_1 l_2 \ealg$$

这三种不同的表达形式, 可根据需要选择使用.

不同晶系的杨氏弹性模量

上面杨氏弹性模量的公式有些复杂, 好在除三斜晶系外, 大多数晶体都具有对称性. 考虑到晶体的对称性, 某些弹性常数必定为零, 而某些则相等, 所以对具有对称性的晶体, 相应的的杨氏模量公式简单些. 下面两张图总结了不同晶系刚度矩阵和柔顺矩阵的特点, 以及不同晶系杨氏弹性模量的公式, 后者为许多文献所引用.

1 三斜晶系(Triclinic system)

三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系, 因此拥有最多的独立矩阵元, 其形式为:

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & C{14} & C{15} & C{16} \ & C{22} & C{23} & C{24} & C{25} & C{26} \ & & C{33} & C{34} & C{35} & C{36} \ & & & C{44} & C{45} & C{46} \ & & & & C{55} & C{56} \ & & & & & C_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & S{14} & S{15} & S{16} \ & S{22} & S{23} & S{24} & S{25} & S{26} \ & & S{33} & S{34} & S{35} & S{36} \ & & & S{44} & S{45} & S{46} \ & & & & S{55} & S{56} \ & & & & & S_{66} \ \end{bmatrix}$$

共有21个独立的矩阵元, 杨氏模量

$$\alg 1/E&=S_{11} l1^4 + S{22} l2^4 + S{33} l3^4 \ &+ (S{44}+2S_{23}) (l_2l3)^2 + (S{55}+2S_{13}) (l_1l3)^2 + (S{66}+2S_{12}) (l_1l2)^2 \ &+ 2\left[(S{14}+S_{56}) l1^2 +S{24} l2^2 + S{34} l_3^2\right] l_2 l3 \ &+ 2\left[S{15} l1^2 +(S{25} +S_{46}) l2^2 + S{35} l_3^2 \right] l_1 l3 \ &+ 2\left[S{16} l1^2 +S{26} l2^2 + (S{36}+S_{45}) l_3^2\right] l_1 l_2 \ealg$$

2 单斜晶系(Monoclinic system)

考虑对称性后, 单斜晶系有13个独立的矩阵单元:

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & 0 & C{15} & 0 \ & C{22} & C{23} & 0 & C{25} & 0 \ & & C{33} & 0 & C{35} & 0 \ & & & C{44} & 0 & C{46} \ & & & & C{55} & 0 \ & & & & & C_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & 0 & S{15} & 0 \ & S{22} & S{23} & 0 & S{25} & 0 \ & & S{33} & 0 & S{35} & 0 \ & & & S{44} & 0 & S{46} \ & & & & S{55} & 0 \ & & & & & S_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E&=S_{11} l1^4 + S{22} l2^4 + S{33} l3^4 \ &+ (S{44}+2S_{23}) (l_2l3)^2 + (S{55}+2S_{13}) (l_1l3)^2 + (S{66}+2S_{12}) (l_1l2)^2 \ &+ 2\left[S{15} l1^2 +(S{25} +S_{46}) l2^2 + S{35} l_3^2 \right] l_1 l_3 \ealg$$

3 正交晶系(Orthorhombic system)

正交晶系拥有相当高的对称性, 其独立矩阵元的数目为9个.

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & 0 & 0 & 0 \ & C{22} & C{23} & 0 & 0 & 0 \ & & C{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & 0 \ & & & & C{55} & 0 \ & & & & & C_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & 0 & 0 & 0 \ & S{22} & S{23} & 0 & 0 & 0 \ & & S{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & 0 \ & & & & S{55} & 0 \ & & & & & S_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E&=S_{11} l1^4 + S{22} l2^4 + S{33} l3^4 \ &+ (S{44}+2S_{23}) (l_2l3)^2 + (S{55}+2S_{13}) (l_1l3)^2 + (S{66}+2S_{12}) (l_1l_2)^2 \ealg$$

4 四方晶系(Tetragonal system)

4.1 四方晶系 $4, \bar 4, 4/m$

对于具有 $4, \bar4, 4/m$ 对称操作的四方晶系, 其独立矩阵元的数目为7个:

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & 0 & 0 & C{16} \ & C{11} & C{13} & 0 & 0 & -C{16} \ & & C{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & 0 \ & & & & C{44} & 0 \ & & & & & C_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & 0 & 0 & S{16} \ & S{11} & S{13} & 0 & 0 & -S{16} \ & & S{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & 0 \ & & & & S{44} & 0 \ & & & & & S_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E&=S_{11} (l_1^4 + l2^4) + S{33} l3^4 \ &+ (S{44}+2S_{13}) (l_1^2+l_2^2) l3^2 + (S{66}+2S_{12}) (l_1l2)^2 \ &+ 2 S{16} (l_1^2 - l_2^2) l_1 l_2 \ealg$$

4.2 四方晶系 $422, 4mm, \bar 42m, 4/mmm$

对于具有 $422, 4mm, \bar 42m, 4/mmm$ 对称操作的四方晶系, 独立矩阵元的数目仅为6个:

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & 0 & 0 & 0 \ & C{11} & C{13} & 0 & 0 & 0 \ & & C{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & 0 \ & & & & C{44} & 0 \ & & & & & C_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & 0 & 0 & 0 \ & S{11} & S{13} & 0 & 0 & 0 \ & & S{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & 0 \ & & & & S{44} & 0 \ & & & & & S_{66} \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E&=S_{11} (l_1^4 + l2^4) + S{33} l3^4 \ &+ (S{44}+2S_{13}) (l_1^2+l_2^2) l3^2 + (S{66}+2S_{12}) (l_1l_2)^2 \ealg$$

5 三方晶系(Trigonal system)

5.1 三方晶系 $3, \bar 3$

三方晶系 $3, \bar 3$ 的独立矩阵元的数目为7个.

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & C{14} & C{15} & 0 \ & C{11} & C{13} & -C{14} & -C{15} & 0 \ & & C{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & -C{15} \ & & & & C{44} & C{14} \ & & & & & {C{11}-C{12} \over 2} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & S{14} & S{15} & 0 \ & S{11} & S{13} & -S{14} & -S{15} & 0 \ & & S{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & -S{15} \ & & & & S{44} & S{14} \ & & & & & 2(S{11}-S{12}) \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E &=S_{11}(l_1^4+l_2^4+2l_1^2l2^2)+S{33} l3^4 \ &+(S{44}+2S_{13})(l_1^2+l_2^2) l3^2+2S{14}(3l_1^2-l_2^2) l_2 l3 +2S{15}(l_1^2-3l_2^2) l_1 l3 \ &=S{11}(1-l3^2)^2+S{33} l3^4 \ &+(S{44}+2S_{13})(1-l_3^2) l3^2 +2S{14}(3l_1^2-l_2^2) l_2 l3 +2S{15}(l_1^2-3l_2^2) l_1 l_3 \ealg$$

5.2 三方晶系 $32, 3m, \bar 3m$

三方晶系 $32, 3m, \bar 3m$ 独立矩阵元的数目为6个.

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & C{14} & 0 & 0 \ & C{11} & C{13} & -C{14} & 0 & 0 \ & & C{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & 0 \ & & & & C{44} & C{14} \ & & & & & {C{11}-C_{12} \over 2} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & S{14} & 0 & 0 \ & S{11} & S{13} & -S{14} & 0 & 0 \ & & S{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & 0 \ & & & & S{44} & S{14} \ & & & & & 2(S{11}-S_{12}) \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E &=S_{11}(l_1^4+l_2^4+2l_1^2l2^2)+S{33} l3^4 \ &+(S{44}+2S_{13})(l_1^2+l_2^2) l3^2+2S{14}(3l_1^2-l_2^2) l_2 l3 \ &=S{11}(1-l3^2)^2+S{33} l3^4 \ &+(S{44}+2S_{13})(1-l_3^2) l3^2 +2S{14}(3l_1^2-l_2^2) l_2 l_3 \ealg$$

6 六方晶系(Hexagonal system)

六方晶系共有5个独立的矩阵元.

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{13} & 0 & 0 & 0 \ & C{11} & C{13} & 0 & 0 & 0 \ & & C{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & 0 \ & & & & C{44} & 0 \ & & & & & {C{11}-C{12} \over 2} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{13} & 0 & 0 & 0 \ & S{11} & S{13} & 0 & 0 & 0 \ & & S{33} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & 0 \ & & & & S{44} & 0 \ & & & & & 2(S{11}-S{12}) \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E &= S_{11}(l_1^4+l_2^4+2l_1^2l2^2)+S{33} l3^4+(S{44}+2S_{13})(l_1^2+l_2^2) l3^2 \ &= S{11} (1-l3^2)^2 + S{33} l3^4 + (S{44}+2S_{13}) (1-l_3^2)l_3^2 \ealg$$

7 立方晶系(Cubic system)

立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系, 其独立矩阵元数目仅为3个, $C{11}, C{12}, C_{44}$

$$\mathbf C=\begin{bmatrix} C{11} & C{12} & C{12} & 0 & 0 & 0 \ & C{11} & C{12} & 0 & 0 & 0 \ & & C{11} & 0 & 0 & 0 \ & & & C{44} & 0 & 0 \ & & & & C{44} & 0 \ & & & & & C_{44} \ \end{bmatrix}$$

$$\mathbf S=\begin{bmatrix} S{11} & S{12} & S{12} & 0 & 0 & 0 \ & S{11} & S{12} & 0 & 0 & 0 \ & & S{11} & 0 & 0 & 0 \ & & & S{44} & 0 & 0 \ & & & & S{44} & 0 \ & & & & & S_{44} \ \end{bmatrix}$$

$$\alg 1/E&=S_{11}(l_1^4+l_2^4+l3^4)+(S{44}+2S_{12})(l_1^2 l_2^2+l_1^2 l_3^2+l_2^2 l3^2) \ &=S{11}-2(S{11}-S{12}-{S_{44}\over 2}) (l_1^2l_2^2+l_2^2l_3^2+l_1^2l_3^2) \ealg$$

杨氏模量的极值

对于立方晶体, 我们可以用与[100], [010], [001]三个晶向的方向余弦来表示任意方向的杨氏模量, 结果如下

$$\begin{align} {1 \over E} &=S{11}-2( S{11}-S{12}-{S{44} \over 2} )(l_1^2l_2^2+l_2^2l_3^2+l_3^2l1^2) \ &= S{11}+(1-A)S_{44}(l_1^2l_2^2+l_2^2l_3^2+l_3^2l1^2) \ A &= 2 {S{11}-S{12} \over S{44}} \ \mathbf S &= \mathbf C^{-1} \end{align}$$

其中 $S{11}, S{12}, S_{44}$ 分别为立方晶体的三个独立的弹性柔顺系数, 柔顺矩阵 $S$ 与弹性矩阵 $C$ 的矩阵互为逆矩阵. $l_1, l_2, l_3$ 为空间某一方向与晶体主轴的方向余弦. $A$ 为各向异性值. 因此, 知道了三个柔顺弹性常数的值, 即可求得空间任一方向的杨氏模量 $E$, $E$ 的大小只与方向有关.

由于 $l_1^2+l_2^2+l_3^2=1, l_1, l_2, l_3 \in [0,1]$, 可以知道杨氏模量的两个极值为

$$\begin{align} E1 &={1 \over S{11} } \ E2 &={1 \over S{11}+{1\over 3}(1-A)S_{44}} \end{align}$$

前者对应于坐标轴方向, 后者对应于体对角线方法. 根据各向异性值 $A$ 与1的大小不同, 相应于极小或极大值.

对于其他晶系杨氏模量的极值, 不易得到解析公式, 直接使用数值方法搜索即可.

杨氏弹性模量各向异性的图示

为了直观地表达弹性模量的各向异性, 人们常常将其用三维图来表示. 这种各向异性的直观图示方法具有一般性, 在科学数据可视化中经常遇到. 量子化学中常用的原子轨道的角度分布图就是一例. 具体原理是, 在球坐标系 $(r,\q, \f)$ 中, 对仅依赖于方向的函数 $F(\q, \f)$ 中, 做曲面 $r=F(\q, \f)$. 显然, 当 $F$ 为常数时, 此曲面为球面, 各个方向函数值相同, 不存在各向异性; 当 $F$ 随 $(\q,\f)$ 变化时, 曲面便可表示出函数值的变化.

mathematica中可使用球坐标绘图函数SphericalPlot3D来做出这种图, 很多文献中的图就是利用这个函数做的, 请参考这个函数的说明和相应的弹性模量示例.

考虑到Matlab使用更广泛些, 下面给出基于Matlab的绘图方法.

利用Matlab绘制各向异性图时, 有两种实现方法. 一种是利用球坐标绘图, 像mathematica那样. 虽然Matlab没有球坐标绘图函数, 但可以先将球坐标转换为直角坐标然后再绘图, 也不是很麻烦. 另一种方法是直接使用直角坐标, 利用等值面函数, 绘制函数 $r-E=0$ 的等值面.

下面的代码绘制几种金属的杨氏模量三维各向异性曲面, 弹性常数来源于这里.

代码见剪切模量博文

注意

1. matlab默认的渲染颜色取决于Z轴大小, 这不符合我们的要求, 因为我们需要用颜色表示E的大小, 这样图形更直观.
2. matlab球坐标转换函数使用的球坐标采用数学约定, 与物理上常用的不同, 使用仰角El, 而非俯视角 $\q$, $El+\q=\p/2$
3. 不同晶系杨氏模量的表达式不同, 只要把代码里E的表达式修改成相应的方程即可.
4. 杨氏模量在某一平面内的截面图形可利用极坐标或直角坐标绘制, 原理类似.

为了让大家有一个更直观的了解, 我们把具有不同各向异性值的立方金属选取具有代表性几个, 列于下表

相应的三维杨氏模量图如下

参考资料

1. T. C. T. Ting; On Anisotropic Elastic Materials for which Young's Modulus E(n) is Independent of n or the Shear Modulus G(n,m) is Independent of n and m; J Elasticity 81(3):271-292, 2006; 10.1007/s10659-005-9016-2
2. Kevin M. Knowles, Philip R. Howie; The Directional Dependence of Elastic Stiffness and Compliance Shear Coefficients and Shear Moduli in Cubic Materials; J Elast 120(1):87-108, 2014; 10.1007/s10659-014-9506-1
3. Matlab绘图高级部分
4. 科学计算可视化: 三维流场绘图
5. Applied Mechanics of Solids: Constitutive Models Relations between Stress and Strain
6. 球坐标

评论

• 2016-09-30 12:50:05 Yabei 版主，想问一下matlab程序里面第一句function aniso, 这个部分代码是啥？

• 2016-09-30 13:20:09 Jerkwin 定义一个函数, 以方便在命令行中调用.

• 2017-03-28 23:34:19 kuner 楼主，您好，请问有其它的四方体系的代码吗，谢谢

• 2017-03-30 23:49:40 Jerkwin 代码可以用于任何晶系, 只要给出相应的C就可以了.

• 2017-04-13 22:26:27 kuner 好的，谢谢，已经学习并测试，与例子一致。感谢。另外，对于不同晶面上（比如在XY.YZ、XZ）的投影图，能否指点一下代码，捣鼓了好久，没有成功，谢谢了。

• 2017-04-14 08:28:23 Jerkwin % 作模量的某一切面图 那句就是做切面的, 你取消注释测试下就明白了

• 2017-04-13 22:30:27 kuner 对于Tetragonal system中的E的表达式，有一项与文献（1985书）不同，是否是笔误？

• 2017-04-14 08:21:01 Jerkwin 二者是一致的, 你有疑问的那项书中写为 L3^2 (1-L3^2) = L3^2 (L1^2+L2^2), 因为L1, L2和L3三者组成单位向量, 其模L^2 = L1^2+L2^2+L3^3 = 1.

• 2017-04-16 18:33:49 kuner 谢谢，是的，我后来也搞明白了，感谢

• 2017-04-13 23:05:53 kuner “”matlab默认的渲染颜色取决于Z轴大小, 这不符合我们的要求, 因为我们需要用颜色表示E的大小, 这样图形更直观.”，这话什么意思，如何用颜色表示E的大小呢？谢谢

• 2017-04-14 08:25:25 Jerkwin 颜色映射图, 首先要确定根据什么数值来决定颜色, matlab默认根据曲面的z坐标来确定颜色, 所以如果你画出来就是从下到上均匀过渡的颜色, 而我们需要的不是这种, 我们要让matlab根据每点E的大小来确定颜色, 这样颜色标尺表示的才是E的大小.

• 2017-04-16 18:33:20 kuner 是的。我测试了一下，可以得到您微博中的各个单质金属的三维图，颜色差不多，标尺大小、颜色也类似，也就是说图中的颜色已经表示了E或G的大小了，是这意思吧？谢谢

• 2017-04-18 23:42:35 kuner 请问楼主，我还是不能画出二维投影图的边线图，我看好多文献都是画出来了的，就是那个类似于园或椭圆的那个东西，园边线内无任何图色的

• 2017-04-21 04:34:08 Jerkwin 修订了代码, 其中有说明, 去掉注释就能得到你需要的图.

• 2017-04-18 12:37:20 Lily 楼主您好，如果不是立方晶系，是四方、六方或者正交晶系，需要修改E公式吗？我测试的正交晶系和六方晶系，修改E公式后和别人的图不一样，把E公式注释掉后也不对

• 2017-04-18 21:16:43 Jerkwin 不需要修改, 默认的公式适用于任何晶系. 如果你确定自己操作无误, 请给出具体的数值和对照图.
• 2017-04-19 10:13:09 Lily 正交晶系：C11=115.9 ；C12=35.3； C13=46.8；C22=174.1；C23=38.7；C33=153.1；C44=50.9；C55=70.2；C66=26.6 不知道怎么传图，我把参考图放在链接里了，麻烦了http://pan.baidu.com/s/1eS5RPfG

• 2017-04-21 04:33:16 Jerkwin 我修订了代码, 默认就使用你说的数值, 请测试对比.

• 2017-04-21 22:06:29 Lily 进行了测试，四方、六方和正交都没问题，非常感谢！

• 2017-04-22 13:44:06 Lily 另外关于楼下kuner提到的二维投影图的边线图的问题，我按照您说的操作之后得到的是中间有颜色和网格线的图，是否可以只得到轮廓图呢？类似于链接中的图http://pan.baidu.com/s/1o8TspMM

• 2017-04-24 11:02:28 Jerkwin 注释掉新添加的投影代码, 再照我的说明做