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• 2021-10-21 00:10:57

Eigenmath是一个计算机代数系统, 可用于进行简单的数学符号计算, 公式推导. 最近也提供了js版本, 可以直接在浏览器中运行. 我关注它有很多年了, 虽然也只是不时用到. 这里整理了Eigenmath支持的函数的说明, 供参考.

参考资料

• Eigenmath 官方网站 函数说明 参考手册
• TTT Blog 中文翻译

注意

1. 注释符为#或--
2. 尽量不要使用d、e、i、pi作为变量名，因为它们分别代表求导、常数e、虚数i、常数pi。
3. 使用括号定义多元矩阵，使用方括号取矩阵中的某个元素。
4. 下文中>后面为输入.

abs(x): x的绝对值或向量x的长度

adj(m): 矩阵m的伴随矩阵，等于m的行列式乘以m的逆矩阵

and(a,b,...): 逻辑与

如果所有参数都为真（即非零），返回1，否则返回0。

arccos(x): x的反余弦$\cos^{-1}(x)$

arccosh(x): x的反双曲余弦$\cosh^{-1}(x)$

arcsin(x): x的反正弦$\sin^{-1}(x)$

arcsinh(x): x的反双曲正弦$\sinh^{-1}(x)$

arctan(y,x): y/x的反正切$\tan^{-1}(y/x)$

arctanh(x): x的反双曲正切$\tanh^{-1}(x)$

arg(z): 复数z的幅角

besselj(x,n): 贝塞尔函数

binding(s): 符号表达式的原本形式

计算一个符号表达式时，其结果可能与符号表达式的原始形式不同，比如结果表达式会展开。使用binding函数可以返回符号表达式原本的形式。

binomial(n,k): 二项式系数, 或组合数

$(x+y)^n$的展开式中$x^k y^(n-k)$项的系数.

此函数与choose相同。

ceiling(x): 大于或等于x的最小整数

check(x): 测试表达式x的值并决定是否停止脚本

如果x为真（非零）则继续执行脚本，否则停止脚本。表达式x可以包含比较运算，比如=、==、<、<=、>、>=。可以使用not函数测试非等价条件。

choose(n,k): 组合数

从n中不考虑顺序取k个项的组合数（即$C_n^k$）。

circexp(x): 计算x表达式，将其中的三角函数和双曲函数转换为指数形式

clear: 清除所有的符号定义

clock(z): 复数z的极坐标形式，但使用-1作为底数，而不使用e

coeff(p,x,n): 多项式p中$x^n$项的系数

cofactor(m,i,j): 矩阵m第i行、第j列元素的代数余子式, 伴随矩阵的转置。

conj(z): 复数z的共轭。

contract(a,i,j): 张量a对指标i和j缩并, 矩阵m的迹

如果忽略i和j，则分别取1和2。表达式contract(m)表示计算矩阵m的迹（即$\tr(m)$）。

cos(x): x的余弦

cosh(x): x的双曲余弦

cross(u,v): 向量u和v的叉积

cross函数可重定义，默认定义如下：

curl(u): 向量u的旋度

curl函数可重定义，默认定义如下：

d(f,x): f对x的偏导数

参数f可以是任意秩的张量，参数x可以是向量。当x为向量时，结果为f的梯度。

d可以用作变量名，它不会与函数d冲突。

可以将d重定义为其他函数，这种情况下仍然可以使用derivative(d的同义函数)计算偏导数。

defint(f,x,a,b): 从a到b, f对x的定积分

参数可以扩展以对多个变量进行定积分计算（多重积分），例如defint(f,x,a,b,y,c,d)等价于defint(defint(f,x,a,b),y,c,d)。

deg(p,x): 多项式p中x的最高次数

denominator(x): 表达式x的分母

det(m): 矩阵m的行列式

dim(a,n): 张量a第n个指标的维数, 或矩阵a第n列的维数

注意编号从1开始。

div(u): 向量u的散度

div函数可重定义，默认定义如下：

do(a,b,...): 从左到右依次计算每个参数表达式，返回最后一个参数的计算结果

注意，计算过程的中间变量在函数计算结束后仍然会保留。

dot(a,b,...): 向量、矩阵、张量的点积，矩阵乘法

draw(f,x): 绘制f(x)的函数图像

可以通过设置xrange和yrange指定绘制范围

注意，该功能需要在GUI中使用。

e: 初始化为自然常数e

注意: 可以清除或重定义e, 用作其他.

eigen(m): 数值计算特征值和特征向量, $m=Q'DQ$

注意，矩阵m必须为数值, 且对称。计算结果会保存在Q和D变量中，其中Q的行保存了特征向量，D对角线上的元素为特征值。

erf(x): x的误差函数

erfc(x): x的余误差函数

eval(f,x,a): x等于a时表达式f的值

参数列表可以扩充以支持多个变量。比如，eval(f,x,a,y,b)等价于eval(eval(f,x,a),y,b)。

exp(x): x的e次幂$e^x$

expand(r,x): 多项式r按x次数的部分分数展开

expcos(z): z的余弦函数的指数形式

expcosh(z): z的双曲余弦函数的指数形式

expsin(z): z的正弦函数的指数形式

expsinh(z): z的双曲正弦函数的指数形式

exptan(z): z的正切函数的指数形式

exptanh(z): z的双曲正切函数的指数形式

factor(n): 数n的因数（质数分解）

如果n是一个浮点数，则选取它的一个近似值进行计算。

factor(p,x): 多项式p关于x的因式分解

对于多变量的多项式，函数的参数列表可以扩展。

注意，factor函数返回的是未展开的表达式，如果将结果赋值给一个符号变量，则对这个符号变量的计算会将结果展开。如果希望保持不展开的结果，可通过binding函数进行处理。

factorial(n): n的阶乘n!

也可以使用n!。

filter(f,a,b,...): f中不包含a、b等的表达式

float(x): 表达式x的有理数和整数转换为浮点数之后的值

注意，pi和e也会转换。

floor(x): 小于或等于x的最大整数

for(i,j,k,a,b,...): i取值从j到k时，计算a、b及后续表达式的值

注意，for循环中i的值在for循环结束后会恢复原值，除非for循环被check之类的函数打断。如果使用i作为计数变量，for循环内的虚数单位会被覆盖（涉及复数计算时，尽量不使用i作为变量）。

gcd(a,b,...): 各表达式的最大公约数

hermite(x,n): x的n阶Hermite多项式

(新版本中不可用) hilbert(n): n阶Hilbert矩阵

hadamard(a,b,...): Hadamard积(对应元素的乘积)

参数的维数必须相同. Hadamard积也可以通过简单地对参数相乘进行计算.

i: 初始化为虚数单位$(-1)^{1/2}$

注意: 可以清除或重定义i做其他用途.

imag(z): z的虚部

inner(a,b,...): 向量、张量、矩阵的内积（矩阵乘法）

注意，inner与dot是同一函数。

integral(f,x): f关于x的不定积分

inv(m): 矩阵m的逆矩阵

isprime(n): 若n为质数返回1，否则返回0

j: 设置j=sqrt(-1), 以便使用j而不是i作为虚数单位

kronecker(a,b,...): 向量, 矩阵的Kronecker积(直积)

laguerre(x,n,a): x的n阶关联Laguerre多项式

last: 上一步的计算结果

注意，对某些函数，如果未指定参数，则会将last作为参数。

lcm(a,b,...): 各表达式的最小公倍数

leading(p,x): 多项式p中x最高次项的系数

legendre(x,n,m): x的n阶关联Legendre多项式

(新版本中不可用) lisp(x): 计算表达式x并返回结果的前缀符号形式

在调试脚本时很有用。

log(x): 以e为底x的对数(自然对数)

如果要计算以其他值，如a，为底的对数，可使用换底公式：$log_a(x) = log(x)/log(a)$.

mag(z): 复数z的模

注意，mag函数会将未定义的符号函数视为实数，而abs函数不会。

minor(m,i,j): 矩阵m的i行j列对应的余子式

minormatrix(m,i,j): 矩阵m去除i行j列后的结果

mod(a,b): a除以b的模

即a除以b计算整数商时的余数。

noexpand(x): 计算表达式x的值, 但不展开求和进行

not(x): 逻辑非

若x为真（非零）返回0，否则返回1

nroots(p,x): 多项式p(x)的所有根

包括实数和复数根。该函数只进行数值计算。p(x)的系数可以是复数。

number(x): 判断数字

如果x为有理数或者浮点数返回1，否则返回0。

numerator(x): 表达式x的分子

or(a,b,...): 逻辑或

如果参数列表中至少有一个表达式为真（非0），则返回1，否则返回0。

outer(a,b,...): 向量、矩阵或张量的外积（张量积）

pi: 符号π

polar(z): 复数z的极坐标形式

power: 使用^求幂

指数为负值时需要加括号.

prime(n): 第n个质数

注意，n应介于1和10000之间。

print(a,b,...): 计算表达式并输出结果

通常与for函数配合使用, 用于在循环内部输出结果。

product(i,j,k,f): 连乘积

令i取值从j到k，分别计算f，并将它们的值累乘作为结果.

下面的例子等价于计算$(x+1)(x+2)(x+3)$的展开式。

注意，i在函数计算结束后会恢复。如果使用i作为变量，则product函数内表达式中的复数单位i会被覆盖。

product(y): y分量的连乘积.

quote(x): 表达式x，而不先计算其值

quotient(p,q,x): p(x)对q(x)的商

rank(a): 矩阵或张量a的秩

rationalize(x): 通分

计算表达式x，并使其只有一个分母（即结果只含有一个分式）

注意，rationalize函数返回未展开的表达式。如果将结果赋值给一个符号变量，对其求值会展开表达式。可以使用binding函数保持未展开的表达式。

real(z): 复数z的实部

rect(z): 复数z的三角函数形式

roots(p,x): 多项式p(x)的根

该多项式应当能够因式分解。返回的向量中包含了每个根。

rotate(u,s,k,...): 旋转向量u

向量u必须具有2n个元素, 其中n为整数, 取值范围为1到15. 参数s,k,...为旋转代码的一个序列, 其中s为大写字母, k为4位的数, 从0到n-1. 旋转从左到右进行求值. 可以使用的旋转为:

• C, k: 控制前缀 prefix
• H, k: Hadamard
• P, k, φ: 修改相位(φ = 1/4 π 用于 T 旋转)
• Q, k: 量子傅里叶变换Quantum Fourier transform
• V, k: 逆 量子傅里叶变换QuantumInverse quantum Fourier transform
• W, k, j: 交换位 Swap qubits
• X, k: 泡利 X
• Y, k: 泡利 Y
• Z, k: 泡利 Z

控制前缀C, k修改下一个旋转代码, 以便使其成为一个使用k作为控制位的控制旋转. 使用两个会更多前缀来指定多个控制位. 例如, C, k, C, j, X, m为Toffoli旋转. 傅里叶旋转Q, k和V, k用于从0到k的量子位.(Q和V忽略所有控制前缀). 另见手册的第三节.

run(file): 执行脚本file

file应为脚本的绝对路径或相对当前可执行文件位置的路径。在批量加载一些自定义函数时很有用，或可以实现脚本的嵌套调用。

simplify(x): 化简表达式x

sin(x): x的正弦函数值

sinh(x): x的双曲正弦函数值

sqrt(x): x的平方根

status: 当前的内存使用情况

stop: 终止运行当前脚本

(新版本中不可用) string(x): 计算x表达式并返回字符串

在测试脚本时很有用。

subst(a,b,c): 将c中的b替换为a

sum(i,j,k,f): 连加和

令i取值从j到k, 分别计算f，并返回各个结果的连加和。

注意，sum函数计算结束后，i的值会还原。如果使用i作为变量，则sum函数内的复数单位i会被覆盖。

sum(y): y各分量的连加和

tan(x): x的正切值

tanh(x): x的双曲正切值

taylor(f,x,n,a): x趋于a时, f(x)的n阶Taylor展开

test(a,b,c,d,...): 连续测试

如果表达式a为真（非零），则返回b，否则如果表达式c为真，则返回d，依次类推。

如果参数的个数为奇数，则当所有被测试表达式均为假时，返回最后一个表达式。表达式可以包含=、==、<、<=、>、>=。可以使用not函数测试非等价性。(在=为赋值算符的情况下, 可以使用等价算符==)

trace: 追踪计算过程

设置trace=1时，脚本会输出计算过程。有助于调试。

注意，使用contract函数计算矩阵的迹。

transpose(a,i,j): 转置

张量a对指标i、j的转置。

如果未指定i和j，则默认为1和2，因此可以只使用一个参数对矩阵进行转置。

注意，参数可以扩展以实现多个转置操作。参数从左到右依次计算。例如，transpose(A,1,2,2,3)等价于transpose(transpose(A,1,2),2,3)。

tty: 文本终端

设置tty=1时，结果将以普通文本形式输出。

unit(n): n阶单位矩阵

zero(i,j,...): 零张量

给定维数i, j等的空张量。在创建张量并给每个元素赋值时会很有用。