{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 代入排除是数量关系第一大法。 代入排除顾名思义是将答案选项代入原题目，与题意不符的选项即可排除，最终得出正确答案。 优先使用代入排除的题型： （1）多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程等。 （2）无从正面下手的题目，可以考虑代入排除。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 数字特性的应用，其实是一种特殊的代入排除。 数字特性包括：奇偶性、整除特性、倍数特性。 奇偶运算基本法则 【基础】奇数±奇数=偶；偶数±偶数=偶；奇数±偶数=奇；奇数x奇数=奇；奇数x偶数=偶；偶数x偶数=偶 【推论】 一、和差同性：任意两个数的和如果是奇数(偶数)，那么差也是奇数(偶数)；任意两个数的差如果是奇数(偶数)，那么和也是奇数(偶数)。 二、任意自然数与偶数相乘，其结果必为偶数。 奇偶性应用特征 ①知和求差、知差求和 ②二倍类，平均分 ③形如 aX+bY=c类的不定方程 {% endnote %} {% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 整除判定基本法则 ①2，4，8整除及其余数判定法则 一个数能被 2(或5)整除，当且仅当末一位数字能被 2(或者5)整除； 一个数能被 4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除； 一个数能被 8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除 ②3，9整除判定基本法则 一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除； 一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除； ③使用场景 题目出现2、4、8、3、9等的倍数。 题目出现倍数、分数、百分数、比例、分组等字眼。 题目中出现“各个数位之和” {% endnote %} {% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 倍数特性 例：班级男女比例为7:4，于是$\frac{男}{女}=\frac{7}{4}$ 男生人数一定是7的倍数；女生人数一定是4的倍数；总人数一定是11的倍数；男女之差一定是3的倍数；男生人数是总人数的 若a:b=m:n，或$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$或者$a=\frac{m}{n}b$(m、n互质，m:n不能继续约份)。则a是m的倍数；b是n的倍数；a+b是m+n的倍数；a-b是m-n的倍数 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 方程法是数量关系最重要的方法之一。 应用范围：和差倍比问题、鸡兔同笼、盈亏问题、工程问题、经济利润问题、行程问题等等。 设未知数的原则： 在同等情况下，优先设所求的量 设中间变量、份数(有分数、百分数、比例倍数特征) 优先设小不设大 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 不定方程(组) 未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。例如，3x+5y=41，两个未知数但是只有一个方程。 目前公务员联考主要考查： 一、限制性不定方程(组)，未知数必须是正整数，例如未知数是人、桌子、盒子、笔等，默认未知数必须是正整数。 解析技巧：①奇偶特性②因子倍数③尾数法④代入排除 二、非限制性不定方程(组)，未知数不限制必须是整数，例如钱、时间，重量等，不必须是正整数，此类题型出题巧妙，技巧性强。 解析技巧：①整体替换②赋0法 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 核心公式：工作总量=效率x时间。 常用方法：赋值法和方程法。 公务员常考题型： 一、给定时间型：题干中只出现工作时间，未提及效率关系，叫做给定时间型。 解题方法：①赋值总量为时间的公倍数②求出各自的效率③分析求解 二、效率制约型：题干中对效率有制约，例如甲、乙的效率之比为2:3，为效率制约型题目。 解题方法：①赋值效率；②直接赋值各自效率比值，例如甲、乙的效率之比为2:3，赋值甲的效率为2，乙的效率为3；③分析求解 三、效率给出型：直接将效率的具体值给出，例如甲每天生产50个零件。 解题方法：直接分析求解即可。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 1.核心公式： 路程=速度x时间 S=vxt 2.等距离求平均速度 $v=\frac{2v1v2}{v1+v2}$ 3.流水行船问题 顺流速度=静水船速+水速 逆流速度=静水船速-水速 4.相遇追及问题 相遇距离=(大速度+小速度)x相遇时间 追及距离=(大速度-小速度)x追及时间 环线型n次相遇，共同行走的距离=nx环线长度。 环线型n次追及，追及的距离=nx环线长度。 5.两端相遇问题 直线型两端出发n次相遇，共同行走距离=(2n-1)x两地初始距离 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 基本概念： 加法原理：分类用加法 乘法原理：分步用乘法 排列：与顺序有关，每个人去做不同的事情 组合：与顺序无关，每个人去做相同的事情 基本公式： 排列公式：$A^m_n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$ 例如：A=7x6x5x4 组合公式：$C^m_n= \frac{A^m_n}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2)..(n-m+1)}{m×(m-1)×(-2)...×2×1}$ 例如：$C^3_7=\frac{7×6×5}{3×2×1}$ Tip1：$C^5_5=C^6_6=C^7_7=C^m_m=1$ Tip2：$C^2_5=C^5_3、C^2_7=C^5_7、C^n_m=C^{m-n}m$ 拓展题型： 捆绑法：相邻问题，将相邻的元素捆绑成一个元素 插空法：不相邻问题，先对其他元素排列，然后将不相邻的元素插入空中 插板法：N个物品分给M个人，每人至少分得一个，N个物品中间有(N-1)个空，在空中插入(M-1)个板，共有$C^{M-1}{N-1}$种情况。 错位排列：有N封信和N个信封，每封信都不装在自己对应的信封里，可能的方案数记作$D_n，D_2=1，D_3=2，D_4=9，D_5=44$，记住这五个即可。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 1.基本概率 某种情况发生的概率=满足条件的情况数÷总的情况数。 $P=\frac{满足条件的情况数}{总的情况数}$ 2.分步乘法型 分步概率=满足条件的每个步骤概率之积 3.分类加法型 总体概率=满足条件的各种情况概率之和 4.逆向计算型 某事件的概率=1-该事件不发生的概率 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 1.利润折扣问题： 总成本=单个成本x进口量；总售价=单价x销售量；利润=售价-成本；总利润=总售价-总成本 $利润率=\frac{利润}{成本}=\frac{售价-成本}{成本}=\frac{售价}{成本}-1$ 2.分段计费问题 分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 最不利构造 题型特征：至少......才能保证...... 解题方法：最不利情形十1 数列构造 题型特征：最多······最少······ 最少······最多······ 排名第······最多(少) ······ 解题方法： 排序，所有元素进行排序； 定位，求谁设谁x； 构造，根据题意构造其他元素的值； 求和，所有元素求和，解 x。 如果求得x为小数，问最少向上取整，问最多向下取整 多集合反向构造 题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少······都······的情况下； 解析策略：采用逆向思考，反向，求和，做差。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 两集合标准型公式 |A|+|B|-|AB|= 总数-都不满足 三集合标准 |A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|=总数-都不满足 三集合非标准 |A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2x满足三个条件=总数-都不满足 使用场景：只有当题目中出现“(只)满足两个条件”时，使用非标准公式 文氏图法：每一个封闭区域内只有一个数字，并且代表该区域的面积。 使用原则：出现“只满足某一个条件”时，优先画图法。 不能直接代入公式的，使用画图法。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 常用公式 n边形的内角和与外角和 内角和=(n-2)x180°，外角和恒等于360° 常用周长公式 正方形周长$C{正方形}=4a$；长方形周长$C{长方形}=2(a+b)$；圆形周长$C圆=2πR$ 常用面积公式 正方形面积$S{正方形}=a^2$；长方形面积$S_{长方形}=ab$；圆形面积$S圆=πR^2$ 三角形面积$S{三角形}=\frac{1}{2}ah$；平行四边形面积$S{平行四边形}=ah$； 梯形面积$S梯形=\frac{1}{2}(a+b)h$；扇形面积$S{扇形}=\frac{n}{360°}πR^2$ 常用表面积公式 正方体的表面积=$6a^2$；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac； 圆柱的表面积=$2πRh+2πR^2$，侧面积=2πRh；球的表面积=$4πR^2$ 常用体积公式 正方体的体积=$a^3$；长方体的体积=abc；球的体积=$\frac{4}{3}πR^3$ 圆柱的体积=$πR^2h$；圆锥(棱锥)的体积=$\frac{1}{3}$ x 底面积 x 高 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 年龄问题 方法一：代入排除法 方法二：方程法 核心点：每年每人长一岁，两个人的年龄差不变 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 核心公式： $浓度=\frac{溶质}{溶液}=\frac{盐}{盐水总重量}=\frac{糖}{糖水总重量}=\frac{酒精}{酒水总重量}$ {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 题型特征：双排比句，有一定存量的同时又在变化 牛吃草：240头牛吃6天，200头牛吃10天 挖沙子：80人连续开采6个月，60人连续开采10个月 检票：同时开4个检票口需50分钟，同时开6个检票口需30分钟 水池：5台抽水机 40小时可以抽完，10台抽水机15小时可以抽完 泄洪：打开10个泄洪闸8小时可以恢复安全水位，打开6个需要24小时 解题策略： (例)一片草地(草以均匀的速度生长)，240头牛可以吃6天，200头牛可以吃10天，则这片草原可供190头牛吃的天数是() 第一步，假设每头牛每天吃1份草。 第二步，假设草场原有y份草，每天自然生长x份草。 第三步，代入第一个条件“240头牛可以吃6天”，240头牛一天可以吃掉240份草，于是草场每天减少(240-x)份，y÷(240-x)=6；代入第二个条件“200头牛可以吃10天”，草场每天减少(200-x)份草，y÷(200-x)=10。 第四步，解方程y=600，x=140，即原草场有600份草，每天长140份草。 第五步，分析计算，190头牛每天吃190份草，每天长140份，于是草场每天实际减少50份草，600-50=12天。 核心公式：$T=\frac{y}{(N-x)}$ y代表原有草量 x代表草的生长速度 N代表“牛数” T代表时间。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 核心点：若一串事物以T为周期，且A÷T=N余a，那么第A项等同于第a项。 如果可以整除，那么第A项就相当于周期当中的最后一项，即第T项。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 平年与闰年： 口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。 大月与小月：大月31天(1、3、5、7、8、10、12月)；小月30 天(4、6、9、11月) 2月 闰年：29天 平年：28天 每过一个平年(365÷7=52余1)星期+1，每过一个闰年(366÷7=52余2)星期+2 星期日期推断：每连续7天一定包含一个完整的星期 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 淘汰赛： 每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍(如果总数是奇数，例如11个队伍一轮淘汰5个队伍，一支队伍轮空，保留6个队伍)。 循环赛： 单循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N支队伍的总场次是$C^2_N=\frac{N×(N-1)}{2}$ 双循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛(分主场和客场)，N队伍的总场次是$A^2_N=N×(N-1)$ {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 统筹安排型 常用方法：枚举法、逻辑推断 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 追及问题 分针速度为360°/60min=6°/min；时针的速度30°/60min=0.5°/min 一整天分针走过 24 圈，时针走过 2 圈，所以时针追上分针 22 次，时针和分针重合 22 次，垂直 44 次（每次重合前后都会呈现两次垂直） {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 植树问题 单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔； 单边环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔。 注意：区分题干中是在马路单边植树还是在马路双边植树。 剪绳问题 将绳子截为 N 段，需要截（N-1）次。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 【例 1】如下图，正方形 ABCD 边长为 10 厘米，一只小蚂蚁 E 从 A 点出发匀速移动，沿边 AB，BC，CD 前往 D 点。问哪个图形能反映三角形 AED 的面积与时间的关系？ {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 平均数 公式：$𝑎=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ {% endnote %} {% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 等差数列 通项公式：$𝑎_𝑛 = 𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑$ 求和公式：和=$\frac{1}{2}$×（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位数×项数 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 天平称量 N 次称量可以从 $3^N$个物品中，选出具有差异的瑕疵品。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 空瓶换酒型 解题技巧：我们将“M 个空瓶换 1 瓶酒”，转化为“（M-1）个空瓶换 1 个（无瓶）酒”来完成答题，这样的题目我们默认是可以“借瓶再换瓶”的。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 若正方形方阵一边人数为 N，长方形方阵两边人数分别为 M、N，则： （1）正方形实心方阵的总人数为 $N^2$，长方形实心方阵的总人数为 MN。 （2）正方形方阵最外层人数 4N-4，长方形方阵最外层人数 2（M+N）-4。 （3）方阵相邻两层人数相差 8 人。 {% endnote %}
{% note purple 'fas fa-bullhorn' flat %} 拿牌问题 第一次拿完牌后，恰好凑成最大最小数之和的倍数。 {% endnote %}