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又叫堆式线段树, 是一种简单的常数优化

老文章, 可能有很多错误, 懒得修了

阅读本文前请先阅读

【洛谷日报#4】浅谈线段树(Segment Tree)

本文主要是上面文章的延伸, 所以上文有讲的东西本文就不详细讲了 QwQ

笔者的测试代码可能写丑了, 所以如果慢请自行卡常 QwQ

这里还是以 RSQ 为例

简介

简单来说, zkw 线段树就是非递归式线段树

众所周知, 普通线段树的常数很大, 经常被卡, 而 zkw 线段树的常数很小

这里用洛谷 P3372 做一个演示(更详细的补充见文末)

普通线段树 R9389075

zkw 线段树 R9388963

前者运行时间是后者运行时间的2.05倍！Σ(°Д°; 详细测试见后文

其实 zkw 线段树不仅快, 而且码量小, 空间小, 好调试~~吊打普通线段树~~orz

而普通线段树的优点则是方便理解与学习, 并且适用范围更广(zkw 线段树不能处理有运算优先级的问题, 如洛谷 P3373)

实现

我们观察一下普通线段树的代码, 很容易就会发现:无论是建树、修改还是查询, 都是自顶向下的

zkw 线段树则正好反过来, 即自底向上

具体来说, 就是先把线段树填充成满二叉树(堆式存储), 之后就可以直接找到叶结点, 然后回溯上去了

听起来好像很简单 QwQ

其实真的很简单 QwQ

建树

首先是定义变量:

{% icodeweb blog lang:cpp from:4 to:6 zkw-segment-tree/seg_zkw_singlem_rangeq.cpp %}

我们以下图为例

(由 visualgo 生成. 为便于讲解, 笔者做了一些改动)

下面的黄圈是原数据, 黄圈下面的红色数字是原数组的下标

上面的树就是线段树了, 每一个结点内部都是结点下方标明的区间中所有元素的总和, 上边的黑色数字就是线段树的下标

visualgo 生成的数组下标默认是从 0 开始的, 所以线段树下的区间和原数组有错位, 请注意区分~~(笔者懒得改了~~

通过观察, 我们发现一个规律:线段树对应叶子结点的下标和原数组的下标的差值是恒定的($8-1=9-2=...=15-8=7$)

这个差值就是一个和N很接近的数了(N是叶子结点数)

实际上, $N=2^{\lceil\log_2{(n+1)}\rceil}$

根据这一点, 我们可以这样建树:

{% icodeweb blog lang:cpp from:8 to:16 zkw-segment-tree/seg_zkw_singlem_rangeq.cpp %}

大家可以和递归版线段树做一下对比

有细心的读者可能发现了:上例计算出的N是16而不是8!

还有, 原数组在线段树对应的为止整体向后平移了 1 位！

其实这都是为了方便查找

后面再详细解释

单点修改+区间查询&区间修改+区间查询

单点修改+区间查询

单点修改

实现很简单, 所以直接放代码

{% icodeweb blog lang:cpp from:18 to:20 zkw-segment-tree/seg_zkw_singlem_rangeq.cpp %}

完了?Σ(°Д°;

完了！

单点查询更简单, 相信各位读者都能想到 QwQ

单点修改下的区间查询

我们以查询[2,6]为例(线段树上的, 下同)

ans=[2,2]+[3,3]+[4,4]+[5,5]+[6,6]

观察上图可以发现, 因为在线段树上我们可以直接找到[2,3]和[4,5], 所以我们只需要用[2,3]代替[2,2]和[3,3]; 用[4,5]代替[4,4]和[5,5]

于是 ans=[2,3]+[4,5]+[6,6]

自顶向下求和很简单, 怎么实现自底向上的求和呢?

我们分别在区间左端点-1 和右端点+1 的位置放两个指针(令其为s,t), 就像这样:

接着不断将s,t移动到对应结点的父结点处, 直到s,t指向的结点的父结点相同时停止

在这期间, 如果:

s指向的结点是左儿子, 那么ans += 右儿子的值
t指向的结点是右儿子, 那么ans += 左儿子的值

如果不能理解就看看上图, 多看几遍就懂了 QwQ

下面是代码

{% icodeweb blog lang:cpp from:22 to:36 zkw-segment-tree/seg_zkw_singlem_rangeq.cpp %}

上面的那两个疑问现在可以解释了

仔细观察上述流程可以发现:我们只能查询[1,n-1]范围(这里还是线段树上标的)内的数据

如果我们想要查询[0,m]范围内($0\leq m\leq n$)的呢?

将数组整体平移！

如果我们想要查询[m,n]范围内($0\leq m\leq n$)的呢?

把N直接扩大 2 倍!

{% cq %}zkw:就是这么狠{% endcq %}

到目前为止 zkw 线段树还是比较简短的

可能有人觉得这个和树状数组有点像, 这就对了

{% cq %}zkw:树状数组究竟是什么?就是省掉一半空间后的线段树加上中序遍历{% endcq %}

orz

单点修改+区间查询完结, 整理一下代码:

<details open> <summary>Show code</summary> {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree/seg_zkw_singlem_rangeq.cpp %} </details>

区间修改+区间查询

区间修改

很显然, 我们不能用上面的方法暴力修改(还不如普通线段树)

其实堆式存储也可以自顶向下访问

就是上下各走一次而已

但是我们有更好的办法 ~~zkw:使劲想想就知道了~~

这里我们采用标记永久化的思想(就是不下推 lazy tag~~让他彻底 lazy 下去~~)

{% icodeweb blog lang:cpp from:6 to:6 zkw-segment-tree/seg_zkw_rangem_rangeq1.cpp %}

我们需要在自底向上时更新结点的值, 所以我们还需要一个变量记录该结点包含元素的个数

另外要注意修改某个结点的标记时要更新上面的值

举个例子; 我们换一棵树

以修改[2,10]为例

当s到了[2,2]结点时, [3,3]结点的 add 加k, 那么接下来[2,3]、[0,3]结点的值都要加上k*1, 而到了[0,7]结点时, 因为[4,7]结点的 add 加了k, 所以[0,7]结点的值要加上k*(1+4)=k*5, 自然k要乘的系数又需要一个变量来记录

需要注意的是, 这次的修改要上推到根结点

下面是代码

{% icodeweb blog lang:cpp from:19 to:37 zkw-segment-tree/seg_zkw_rangem_rangeq1.cpp %}

区间查询

我们以查询[2,10]为例~~没错笔者我就是要用一张图~~

过程类似, 要注意s,t每次上推时都要根据当前所在结点的标记和lNum / rNum更新ans (ans += add[s]*lNum)

可能有些难懂, 多读两遍或者看看代码或者自己手推一下就好了 QwQ

同样, 这个也需要上推到根结点

{% icodeweb blog lang:cpp from:39 to:56 zkw-segment-tree/seg_zkw_rangem_rangeq1.cpp %}

区间修改+区间查询告一段落, 整理一下代码:

<details open> <summary>Show code</summary> {% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree/seg_zkw_rangem_rangeq1.cpp %} </details>

区间修改+区间查询的空间优化

也许有的读者发现了:标记和值好像可以看成一个东西

所以, 我们可不可以不存值, 只存标记?

当然可以！

zkw:永久化的标记就是值!

~~zkw:狗拿耗子, 猫下岗了~~

那么, 怎么实现呢?

下面是区间最值(RMQ)版本的(以最小值为例)

在这里, 我们不存总和了, 存tree[i]=sum[i]-sum[i>>1] //sum[i]对应上述两个版本代码中的tree[i](即为子结点-父结点)

区间修改就直接改tree[i]

查询就从当前结点一直加到根(tree[i]+tree[i>>1]+...+tree[1])

或者数学一点

$$ \sum_{\text{j}=0}^{\lfloor\log2\text{i}\rfloor}\mathrm{tree}{i\cdot2^j} $$

(修改时的s,t)遇到结点x, 则

A=min(tree[x>>1],tree[x>>1|1]), tree[x]+=A, tree[x>>1]-=A, tree[x>>1|1]-=A

这一步可能有一些难懂, 就是修改了一个区间, 可能会导致父结点存储的最值(普通情况下)发生改变, 所以用这一步来修正

为什么笔者没有放区间求和(RSQ)版本的呢?

因为笔者觉得求和版本的依然要维护两棵树(一棵存tree[i]-tree[i-1], 另一棵存i*(tree[i]-tree[i-1]), 类似树状数组), 也就是没有优化(可能是笔者太弱了, 没有想到别的方法)

当然, 这个版本也是可以单点修改/单点查询的, 不过没有上述代码实用, 所以这里就不讨论了

直接放代码

{% icodeweb blog lang:cpp zkw-segment-tree/seg_zkw_rangem_rangeq1.cpp %}

大数据测试

另请参阅: {% post_link zkw-segment-tree-test %}

先来看一看参赛选手:

1 号:递归线段树

2 号:zkw 线段树(非差分版本, 差分版本的常数略大, 就不测了)

3 号:树状数组

~~zkw 线段树:说好的我的主场呢?~~

先以洛谷 P3372 做一个热身

因为图太多, 所以不贴出来了, 有兴趣的读者可以查看提交记录

读入优化

1 号:递归线段树 412ms / 6.31MB (R9424058)

2 号:zkw 线段树 208ms / 4.74MB (R9424567)

3 号:树状数组 196ms / 3.71MB (R9424624)

读入优化+O2

1 号:递归线段树 220ms / 6.21MB (R9424921)

2 号:zkw 线段树 160ms / 4.86MB (R9424805)

3 号:树状数组 96ms / 3.74MB (R9424762)

可以看到, 没有 O2 时 2 号和 3 号相差无几, 有了 O2 之后 3 号吊打全场~~可能是笔者写的 zkw 线段树常数太大 QwQ~~

后记

这篇文章笔者写了~~将近一天~~整整三天

因为笔者是个蒟蒻, 所以这篇文章难免会有错误, 在此希望各位 dalao 批评的时候别把笔者喷得太惨 QwQ

另外, zkw julao 在他的 ppt 中还讲了许多高端操作, 有兴趣读者可以看一看~~膜拜 orz~~