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title: 微分几何笔记00 - 基础知识与约定 categories:

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• 合同变换
• 刚体运动
• 反向刚体运动 date: 2022-01-19 14:19:59

本章主要列举一些前置知识与约定

约定

如无特殊说明, 本笔记均遵循如下约定:

• 所有的讨论都在 $E^3$ 下, 即三维 Euclidean 空间下
• 所有的标量函数均在 $C^3$ 内, 即三阶连续可微
• 所有的向量函数的每一个分量函数均在 $C^3$ 内
• 所有的向量均为行向量

• 向量函数

  • 参数曲线

    $$ \textbf{r}(t):=(x(t),y(t),z(t)) $$

    在本系列中, 我们要求其满足:

    • $\textbf{r}'(t)\ne 0,~\forall t$

    此时的参数曲线可被称为 正则参数曲线

  • 参数曲面

    $$ \textbf{r}(u,v):=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) $$

    在本系列中, 我们要求其满足:

    • $\textbf{r}_u\wedge\textbf{r}v|{(u_0,v_0)}\ne 0,~\forall u_0,v_0$

    此时的参数曲面可被称为 正则参数曲面

• 为了书写简便, 有时不会对向量加粗处理, 在涉及到向量运算时更为常见

内积, 外积, 混合积

定义与通常意义下的一致, 记号如下:

• 内积: $\lang u,v\rang$
• 外积: $u\wedge v$

• 混合积: $(u,v,w)$

  我知道这个记号和行向量冲突了, 但是一方面本笔记中混合积不会频繁出现, 另一方面这两个记号其实很难搞混, 所以就不另作区分了

我们有如下两个实用的结论

• Lagrange 恒等式: $$ \lang v_1\wedge v_2,v_3\wedge v_4\rang=\begin{vmatrix} \lang v_1,v_3\rang & \lang v_2,v_3\rang\ \lang v_1,v_4\rang & \lang v_2,v_4\rang\ \end{vmatrix} $$

• 混合积的轮换恒等性: $(v_1,v_2,v_3)=(v_2,v_3,v_1)=(v_3,v_1,v_2)$

  进一步, 对于置换 $\sigma\in S^3$, 我们有

  $$ (v{\sigma(1)},v{\sigma(2)},v_{\sigma(3)})=(-1)^{\pi(\sigma)}(v_1,v_2,v_3) $$

证明略

微分运算规则

• $$ \mathrm{d}(\lambda\textbf{u}):=(\mathrm{d}\lambda)\textbf{u}+\lambda\mathrm{d}\textbf{u} $$
• $$ \mathrm{d}\lang \textbf{u},\textbf{v}\rang:=\lang\mathrm{d}\textbf{u},\textbf{v}\rang+\lang \textbf{u},\mathrm{d}\textbf{v}\rang $$
• $$ \mathrm{d}(\textbf{u}\wedge \textbf{v}):=\mathrm{d}\textbf{u}\wedge \textbf{v}+\textbf{u}\wedge\mathrm{d}\textbf{v} $$
• $$ \mathrm{d}(\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}):=(\mathrm{d}\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w})+(\textbf{u},\mathrm{d}\textbf{v},\textbf{w})+(\textbf{u},\textbf{v},\mathrm{d}\textbf{w}) $$

合同变换, 刚体运动, 反向刚体运动

我们知道, $E^3$ 上的任意合同变换 $\mathcal{T}$ 均满足

$$ \mathcal{T}(x)=xT+P $$

其中 $T$ 为 3 阶正交矩阵, $P\in E^3$

若 $T\in\textrm{SO}(3)$, 即 $\det T=1$, 则称该合同变换 $\mathcal{T}$ 为 刚体运动, 否则称该合同变换 $\mathcal{T}$ 为 反向刚体运动

简单来说就是: 刚体运动是旋转和平移的复合, 而反向刚体运动是反射变换后的刚体运动