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title: 数值分析实验 - 函数逼近与曲线拟合 categories:

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• 最小二乘法 date: 2021-04-22 23:05:47

数值分析实验 3 - 函数逼近与曲线拟合

实验要求和目的

在某冶炼过程中, 根据统计数据的含碳量与时间关系, 试求含碳量 $y$ 与时间 $t$ 的拟合曲线

要求

1. 用最小二乘法进行曲线拟合
2. 近似解析表达式为 $\varphi(t)=a_1t+a_2t^2+a_3t^3$
3. 打印出拟合函数 $\varphi(t)$, 并打印出 $\varphi(t_j)$ 与 $y(t_j)$ 的误差, $j=1,2,...,12$
4. 另外选取一个近似表达式, 尝试拟合效果的比较
5. *绘制出曲线拟合图

计算公式

• 最小二乘法原理 (参见 {% post_link symmetric-bilinear-metric-space-and-system-of-linear-equations %})

  令 $A=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n),~\alpha_i\in\mathbb{R}^m,i=1,2,...,n$, 寻找 $AX=B$ 的最小二乘解 $(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$ 即为寻找一组实数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 使得

  $$ \left|B-\sum_{i=1}^nx_i\alphai\right|^2=\sum{i=1}^n\left(b1-\sum{j=1}^na_{ij}x_j\right)^2\tag{1} $$

  的值最小

  此时取的 $x_1,x_2,\dots,xn$ 只需使 $\sum{i=1}^nx_i\alpha_i$ 为 $B$ 在 $G[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n]$ 的正射影

  这样的 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 是且仅是

  $$ G(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)X=((B,\alpha_0),(B,\alpha_1),\dots,(B,\alpha_n))^T\tag{2} $$

  的解, 其中 $G(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ 为 $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 的 Gram 矩阵

  又

  $$ G(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)=A^TA $$

  $$ ((B,\alpha_0),(B,\alpha_1),\dots,(B,\alpha_n))^T=A^TB $$

  因此式 $(2)$ 即为

  $$ A^TAX=A^TB\tag{3} $$

  由正射影的存在性可知该方程一定可解, 其解为 $X=(A^TA)^{-1}A^TB$

程序设计

主程序

最小二乘法函数文件

结果讨论和分析

结果

• 拟合函数 1:

  $3.5168482\times10^{-9}x^3 - 5.2948459\times10^{-6}x^2 + 2.6568799\times10^{-4}x$

  • 误差:

    | $t$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | | ---------- | ----------- | ---------- | ----------- | ----------- | ----------- | ----------- | | $\epsilon$ | 0.00000000 | 0.00000695 | -0.00000026 | -0.00000527 | -0.00000372 | -0.00000124 | | $t$ | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | | $\epsilon$ | -0.00000048 | 0.00000493 | 0.00001035 | 0.00001414 | -0.00004233 | 0.00001929 |

• 拟合函数 2:

  $3.4364154\times10^{-9}x^3 - 5.2155622\times10^{-6}x^2 + 2.6339853\times10^{-4}x + 1.7838828\times10^{-5}$

  • 误差:

    | $t$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | | ---------- | ----------- | ---------- | ----------- | ----------- | ----------- | ----------- | | $\epsilon$ | -0.00000178 | 0.00000613 | -0.00000046 | -0.00000513 | -0.00000345 | -0.00000100 | | $t$ | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | | $\epsilon$ | -0.00000036 | 0.00000489 | 0.00001018 | 0.00001393 | -0.00004244 | 0.00001950 |

• 图像

  

  

分析

• 可以发现两个拟合函数图像几近重合
• 在测试中发现当选用多项式拟合时, 次数过小则误差较大, 次数较大则对趋势的预测不够合理, 且更易受到干扰