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title: 数值分析实验 - 解线性方程组的迭代法 categories:

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• 线性方程组
• Jacobi迭代法
• Gauss-Seidol迭代法
• SOR方法 date: 2021-06-22 23:03:26

数值分析实验 6 - 解线性方程组的迭代法

目的和意义

问题提出

对 {% post_link numanaexp-05 %} 所列目的和意义的线性方程组, 试分别选用 Jacobi 迭代法, Gauss-Seidol 迭代法和 SOR 方法计算其解

要求

1. 体会迭代法求解线性方程组, 并能与消去法做以比较;
2. 分别对不同精度要求, 如 $\epsilon=10^{-3},10^{-4},10^{-5}$, 由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢;
3. 对方程组 2, 3 使用 SOR 方法时, 选取松弛因子 $\omega=0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2$ 等, 试看对算法收敛性的影响, 并能找出你所选用的松弛因子的最佳者;
4. 给出各种算法的设计程序和计算结果

目的和意义

1. 通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点, 并能和消去法比较;
2. 运用所学的迭代法算法, 解决各类线性方程组, 编出算法程序;
3. 体会上机计算时, 终止步骤 $|x^{(k+1)}-x^{(k)}|_{\infty}<\epsilon$ 或 $k>$ (予给的迭代次数), 对迭代法敛散性的意义;
4. 体会初始解 $x^{(0)}$, 松弛因子的选取, 对计算结果的影响

计算公式

令

$$ A=D-L-U $$

其中

• $$ D=\begin{bmatrix} a{11}\ &a{22}\ \phantom{\vdots}&&\ddots\ &&&a_{nn} \end{bmatrix} $$
• $$ L=\begin{bmatrix} 0\ -a{21}&0\ \vdots&\vdots&\ddots\ -a{n1}&-a_{n2}&\dots&0 \end{bmatrix} $$
• $$ U=\begin{bmatrix} 0&-a{12}&\dots&-a{1n}\ &0&\dots&-a_{2n}\ &&\ddots&\vdots\ &&&0 \end{bmatrix} $$

Jacobi 迭代法

令

$$ G=D^{-1}(L+U) $$

则

$$ x^{(k+1)}=Gx^{(k)}+D^{-1}b $$

收敛条件为 $\rho(G)<1$

Gauss-Seidol 迭代法

令

$$ G=(D-L)^{-1}U $$

则

$$ x^{(k+1)}=Gx^{(k)}+(D-L)^{-1}b $$

收敛条件为 $\rho(G)<1$

SOR 方法

令

$$ G=(D-\omega L)^{-1}((1-\omega)D+\omega U) $$

则

$$ x^{(k+1)}=Gx^{(k)}+\omega(D-\omega L)^{-1}b $$

收敛条件为 $\rho(G)<1$

程序设计

主程序

Jacobi 迭代法

Gauss-Seidol 迭代法

SOR 方法

结果讨论和分析

结果

方程组的解经验证符合要求, 为节省篇幅而略去

• $\epsilon=10^{-3}$ 时的迭代次数

  | | 方程组 1 | 方程组 2 | 方程组 3 | | ----------------------- | -------- | -------- | -------- | | Jacobi 迭代法 | 不收敛 | 不收敛 | 15 | | Gauss-Seidol 迭代法 | 不收敛 | 1256 | 7 | | SOR 方法 ($\omega=0.8$) | 不收敛 | 1895 | 10 | | SOR 方法 ($\omega=1.2$) | 不收敛 | 842 | 9 |

• $\epsilon=10^{-4}$ 时的迭代次数

  | | 方程组 1 | 方程组 2 | 方程组 3 | | ----------------------- | -------- | -------- | -------- | | Jacobi 迭代法 | 不收敛 | 不收敛 | 15 | | Gauss-Seidol 迭代法 | 不收敛 | 1692 | 9 | | SOR 方法 ($\omega=0.8$) | 不收敛 | 2551 | 13 | | SOR 方法 ($\omega=1.2$) | 不收敛 | 1132 | 11 |

• $\epsilon=10^{-5}$ 时的迭代次数

  | | 方程组 1 | 方程组 2 | 方程组 3 | | ----------------------- | -------- | -------- | -------- | | Jacobi 迭代法 | 不收敛 | 不收敛 | 15 | | Gauss-Seidol 迭代法 | 不收敛 | 2129 | 11 | | SOR 方法 ($\omega=0.8$) | 不收敛 | 3207 | 16 | | SOR 方法 ($\omega=1.2$) | 不收敛 | 1423 | 13 |

• SOR 方法中, 方程组 2 的迭代次数与 $\omega$ 的变化图像

  

• SOR 方法中, 方程组 3 的迭代次数与 $\omega$ 的变化图像

  

结论

• SOR 方法中
  • 对于方程组 2, $\omega=1.9$ 时的迭代步数最小, 且与 $\omega=0.8$ 时的迭代步数差别较大
  • 对于方程组 3, $\omega=1.0$ 时的迭代步数最小, 不同 $\omega$ 之间迭代步数差别不大