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title: 笔记 - 扩展中国剩余定理(exCRT) categories:
我们都知道, CRT 用于求解的方程组要求其模数必须两两互素, 而 exCRT 则没有这条限制
<!-- more -->{% note warning %} https://cplib.tifa-233.com/src/code/nt/crt_mod.hpp 存放了笔者对该算法/数据结构的最新实现, 建议前往此处查看相关代码 {% endnote %}
为什么 CRT 要求其模数必须两两互素?
因为 CRT 的关键便是构造这样的方程组
$$ \begin{cases} x\equiv1\pmod{m_i}\ x\equiv0\pmod{m_j}~(j\ne i) \end{cases} $$
此时的 $x=M_iN_i$, $Mi=\prod{j=1,j\ne i}^km_j$, 而 $N_i$ 是 $M_i$ 关于 $m_i$ 的逆元
我们知道, 如果一个整数 $a$ 在模 $m$ 意义下有逆元, 其前提之一便是 $(a,m)=1$
在此处便是 $(M_i,m_i)=1$
故由最大公约数的性质, 此处的 $k$ 个模数 $m_1,m_2,\dots,m_k$ 必须两两互素
那么我们能不能摆脱这个限制条件呢?
当然可以!
这就要求我们在构建解的时候绕开 CRT 的证明, 另辟蹊径
我们观察下面的式子
$$ \begin{cases} x\equiv b_1\pmod{m_1}\ x\equiv b_2\pmod{m_2} \end{cases} $$
由同余定义, 我们有
$$ \begin{cases} m_1\mid x-b_1\ m_2\mid x-b_2 \end{cases} $$
即存在整数 $k_1,k_2$ 使得
$$ x=m_1k_1+b_1=m_2k_2+b_2 $$
整理一下, 便有
$$ m_1k_1-m_2k_2=b_2-b_1\tag{1} $$
此时我们便可以通过扩欧去解决 $(1)$ 式的可解性和一组可行解
更重要的是: 此时不需要 $(m_1,m_2)=1$
求出 $k_1,k_2$ 之后便可得到
$$ x\equiv m_1k_1+b_1\equiv m_2k_2+b_2\pmod{[m_1,m_2]} $$