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title: 笔记 - 无向图连通子图 & 环计数 categories:
总结一些简单无向图的连通子图 & 环计数的方法
<!-- more -->Given a simple graph, output the number of simple cycles in it. A simple cycle is a cycle with no repeated vertices or edges
The first line of input contains two integers $n$ and $m$ ($1 \leq n \leq 19, 0 \leq m$) – respectively the number of vertices and edges of the graph. Each of the subsequent m lines contains two integers $a$ and $b$, ($1 \leq a, b \leq n, a \neq b$) indicating that vertices $a$ and $b$ are connected by an undirected edge. There is no more than one edge connecting any pair of vertices
Output the number of cycles in the given graph
4 6
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
7
The example graph is a clique and contains four cycles of length $3$ and three cycles of length $4$
无向图环计数问题是 NP 的, 本题可以利用状压 DP 求解
不考虑自环, 令
则
$$ f(V(G'),x)=\sum_{v\in V(G)}f(V(G')\setminus{x},y)g(y,x) $$
因为是无向图, 我们只需要枚举一下这个最小点然后考虑所有与其关联的边即可, 最后答案即为
$$ \frac{1}{2}\sum{v\in V(G)}\sum{S\subseteq V(G);\min S=v}\sum_{x\in S\setminus{v}}f(S,x)g(v,x) $$
$$ \begin{aligned} \Theta\left(\sum{i=1}^{2^n-1}(\operatorname{popcount}(i)-1)^2\right)&=\Theta\left(\sum{i=0}^n(i-1)^2\binom{n}{i}\right)\ &=\Theta\left(2^{n-2}(n^2-3n+4)\right)\ &\implies O\left(n^22^n\right) \end{aligned} $$
给定一张无向图, 求图中一个至少包含 $3$ 个点的环, 环上的节点不重复, 并且环上的边的长度之和最小. 该问题称为无向图的最小环问题. 在本题中, 你需要输出最小的环的边权和. 若无解, 输出 No solution.
第一行两个正整数 $n,m$ 表示点数和边数
接下来 $m$ 行, 每行三个正整数 $u,v,d$, 表示节点 $u,v$ 之间有一条长度为 $d$ 的边
输出边权和最小的环的边权和. 若无解, 输出 No solution.
5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20
61
样例解释: 一种可行的方案: $1-3-5-2-1$
对于 $20\%$ 的数据, $n,m \leq 10$
对于 $60\%$ 的数据, $m\leq 100$
对于 $100\%$ 的数据, $1\le n\leq 100$, $1\le m\leq 5\times 10^3$, $1 \leq d \leq 10^5$
无解输出包括句号
{% note warning %} https://cplib.tifa-233.com/src/code/graph/ringenum3.hpp 存放了笔者对该算法/数据结构的最新实现, 建议前往此处查看相关代码 {% endnote %}
无向图 $G$ 的三元环指的是一个 $G$ 的一个子图 $G_0$, 满足 $G_0$ 有且仅有三个点 $u, v, w$, 有且仅有三条边 $\langle u, v \rangle, \langle v, w \rangle, \langle w, u \rangle$. 两个三元环 $G_1, G_2$ 不同当且仅当存在一个点 $u$, 满足 $u \in G_1$ 且 $u \notin G_2$
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的简单无向图, 求其三元环个数
每个测试点有且仅有一组测试数据
输入的第一行是用一个空格隔开的两个整数, 分别代表图的点数 $n$ 和边数 $m$
第 $2$ 到第 $(m + 1)$ 行, 每行两个用空格隔开的整数 $u, v$, 代表有一条连接节点 $u$ 和节点 $v$ 的边
输出一行一个整数, 代表该图的三元环个数
3 3
1 2
2 3
3 1
1
5 8
1 2
2 3
3 5
5 4
4 2
5 2
1 4
3 4
5
【样例 2 解释】
共有 $5$ 个三元环, 每个三元环包含的点分别是 ${1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}$
【数据规模与约定】
本题采用多测试点捆绑测试, 共有两个子任务
对于 $100\%$ 的数据, $1 \le n \le 10^5$, $1 \le m \le 2 \times {10}^5$, $1 \le u, v \le n$, 给出的图不存在重边和自环, 但不保证图连通
【提示】
我们不难想到三种暴力做法:
{% note primary no-icon %}
另外还可以使用 std::vector<std::bitset> 开邻接矩阵来对暴力进行优化, 同时和点 $i$, 点 $j$ 相邻的点集可以通过两个点对应的 bitset 的 & 得到
若题目卡空间, 可以考虑设置一个阈值 $T$, 将度数不超过 $T$ 的点直接暴力, 度数超过 $T$ 的点用 bitset 优化
{% endnote %}
下面我们介绍一种更优的算法, 其时间复杂度为 $O(m\sqrt{m})$, 因为 $O(n)\leq m\leq O(n^2)$, 所以该算法总体来说是优于上述三种暴力算法的
定义严格弱序 $\prec$ 满足
$$ u\prec v:=\begin{cases} \deg(u)<\deg(v),&\deg(u)\neq\deg(v)\ u<v,&\deg(u)=\deg(v) \end{cases} $$
我们对原图 $G$ 赋方向, 若 $(u,v)\in E(G)$ 且 $u\prec v$, 则将该边改为弧 $u\to v$ ($\langle u,v\rangle$)
因为 $\prec$ 是严格弱序, 所以得到的新图 $G'$ 是 DAG, 并且 $G$ 的三元环 $u,v,w$ (顶点按一定顺序排列后) 在 $G'$ 中与 $u\to v$, $u\to w$, $v\to w$ 一一对应
所以在新图中我们只需要枚举 $u$, 接着枚举 $u$ 的邻接点 $v$, 最后看 $v$ 的邻接点 $w$ 是否是 $u$ 的邻接点即可
注意到
故时间复杂度为
$$ \begin{aligned} \Theta\left(\sum{u\in V(G')}\sum{\langle u, v\rangle\in E(G')}\deg{out}(v)\right)&= \Theta\left(\sum{\langle u, v\rangle\in E(G')}\deg{out}(v)\right)\ &\implies O\left(\sum{\langle u, v\rangle\in E(G')}O\left(\sqrt{m}\right)\right)\ &= O(m\sqrt{m}) \end{aligned} $$
{% note warning %} https://cplib.tifa-233.com/src/code/graph/ringcnt4.hpp 存放了笔者对该算法/数据结构的最新实现, 建议前往此处查看相关代码 {% endnote %}
算法和 简单无向图三元环计数 类似, 下面简述流程
建图 $G'$ 的方式不变, 只不过这里的四元环 $u,v,w,x$ 在 $G'$ 中可能有以下三种同构形式:
| 形式 1 | 形式 2 | 形式 3 |
|---|---|---|
|
|
|
不难发现这三种形式均可以视作如下形式
所以此时我们需要枚举 $u\to v-w$, 两条这样的路径即构成一个四元环
$O(m\sqrt{m})$