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title: 笔记 - 线性基 (Hamel 基) categories:
本文主要介绍线性基的概念与重要性质, 以及在算法竞赛中的两种应用形式: "{% post_link xor-basis 异或线性基 %}" 和 "实数线性基"
前置知识: {% post_link linear-space 线性空间 %} 的定义
<!-- more -->{% note info no-icon %}
<a id="def-1-1">定义 - 1-1</a> 对线性空间 $(V,+,\cdot,\Bbb{P})$,
对于 $k_1,k_2,\dots,k_n\in\Bbb{P}$, 称
$$ \sum_{i=1}^nk_ia_i $$
为向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 的一个 线性组合
若向量 $\beta\in V$ 可以表示为向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 的一个线性组合, 则称 $\beta$ 能被向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表出
对于 $k_1,k_2,\dots,k_n\in\Bbb{P}$, 若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 满足
$$ \sum_{i=1}^nk_ia_i=\theta\iff k_i=0, i=1,2,\dots,n $$
则称向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性无关, 否则称向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性相关
{% endnote %}
容易得到以下性质
{% note primary no-icon %}
<a id="pb-1-1">性质 - 1-1</a> 对线性空间 $(V,+,\cdot,\Bbb{P})$,
若向量组的一部分线性相关, 则向量组线性相关
若向量组线性无关, 则其任意非空部分均线性无关
含 $\theta$ 的向量组线性相关
{% endnote %}
{% note info no-icon %}
<a id="def-1-2">定义 - 1-2</a> 对线性空间 $(V,+,\cdot,\Bbb{P})$,
对于向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$, 令 ${a_1,a_2,\dots,a_n}\subseteq{b_1,b_2,\dots,b_m}$, 若
$\forall\beta\in{b_1,b_2,\dots,b_m}\setminus{a_1,a_2,\dots,a_n}$, 向量组
$$ a_1,a_2,\dots,a_n,\beta $$
线性相关
则称向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 为向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 中的一个 极大线性无关组. 类似地, 可定义线性空间 $V$ 的极大线性无关组
规定向量组 $\theta,\theta,\dots,\theta$ 的极大线性无关组为空集
称向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 的极大线性无关组的大小为向量组的 秩, 记作 $\operatorname{rank}{b_1,b_2,\dots,b_m}$, 规定 $\operatorname{rank}{\theta,\theta,\dots,\theta}=0$
若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 能线性表出向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 中的所有向量, 称向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 能被向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表出
若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 能被向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 线性表出, 且向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 能被向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表出, 则称两向量组 等价, 记作
$$ {a_1,a_2,\dots,a_n}\cong{b_1,b_2,\dots,b_m} $$
称
$$ \left{v=\sum_{i=1}^nk_ia_i:a_i\in V,k_i\in\Bbb{P},i=1,2,\dots,n\right} $$
为由向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 张成的线性空间, 记作 $\operatorname{span}{a_1,a_2,\dots,a_n}$
{% endnote %}
容易得到以下性质
{% note primary no-icon %}
<a id="pb-1-2">性质 - 1-2</a> 对线性空间 $(V,+,\cdot,\Bbb{P})$,
等价的线性无关向量组的大小相等
向量组的任意极大线性无关组的大小均相等
向量组线性无关当且仅当其秩等于其大小
若向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 能被线性表出向量组 $b_1,b_2,\dots,b_m$ 线性表出, 则 $\operatorname{rank}{a_1,a_2,\dots,a_n}\leq\operatorname{rank}{b_1,b_2,\dots,b_m}$
等价的向量组的秩相等
{% endnote %}
{% note info no-icon %}
<a id="def-2-1">定义 - 2-1</a> (Hamel 基) 称线性空间 $(V,+,\cdot,\Bbb{P})$ 的极大线性无关组为 $V$ 的一组 Hamel 基 或 线性基, 简称 基
令 $V$ 的 维数 为基的势, 记作 $\dim V$
规定线性空间 ${\theta}$ 的基为空集
{% endnote %}
由 Zorn 引理, 我们可以证明:
{% note success no-icon %}
<a id="th-2-1">定理 - 2-1</a> 任意线性空间均存在 Hamel 基
{% endnote %}
证明思路即设线性空间 $V$ 的全体线性无关向量组为 $\mathscr{F}$, 显然其上元素关于集合的包含关系成偏序集, 容易验证其上任意全序子集均有上界, 故由 Zorn 引理, $\mathscr{F}$ 有极大元 $F$, 容易验证 $F$ 即为线性空间 $V$ 的 Hamel 基
另外, 由 <a href="#pb-1-1">性质 - 1-1</a>, 在线性空间 $V$ 中, 任取一组基 $A={a_i}$, 则任意向量 $v$ 均可被其线性表示, 且表示方式唯一, 设
$$ v=\sum_i k_i a_i,~k_i\in\Bbb{P},i=1,2,\dots $$
称有序组 $(k_1,k_2,\dots)$ 为 $v$ 在基 $A$ 下的 坐标
对于有限维线性空间 $V$, 设其维数为 $n$, 则
若 $V$ 中的任意向量均可被向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表出, 则其是 $V$ 的一个基
{% note warning no-icon %}
<a id="att-2-1">注意 - 2-1</a> 此处未要求向量组 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性无关
{% endnote %}
<details open> <summary>证明</summary> 任取 $V$ 中的一组基 $b_1,b_2,\dots,b_n$, 由已知条件, 向量组 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 可被 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 线性表出, 故 $$ n=\operatorname{rank}\{b_1,b_2,\dots,b_n\}\leq\operatorname{rank}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\leq n $$ 因此 $\operatorname{rank}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}=n$ </details>$V$ 中任意线性无关向量组 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 均可通过插入一些向量使得其变为 $V$ 的一个基
线性基在算法竞赛中的应用一般包含以下方面
若限定向量均在 $\mathbb{Z}_2^n$ 下, 则称找到的基为 异或线性基
若限定向量均在 $\mathbb{R}^n$ 下, 则称找到的基为 实数线性基
具体内容参见 {% post_link xor-basis 异或线性基 %}
实数线性基的构造可通过 Gauss 消元法构造出准上三角矩阵, 然后去除所有零向量即可