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title: 笔记 - 线性空间 categories:

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线性空间
线性同构
直和
Vandermonde行列式 date: 2020-05-27 20:37:42

线性空间是基于集合的, 在集合的基础上又额外规定了各元素之间的关系

{% note info %} 本篇文章已迁移至 OI-wiki 的线性空间页面中 {% endnote %}

线性空间

定义

概括起来就是: 两个封闭, 八条法则

称代数系统 $(V,+,\cdot,\mathbb{P})$(或者记成 $(V,\oplus,\odot,\mathbb{P})$)为 $V$ 关于 $+,\cdot$ 构成 $\mathbb{P}$ 上的线性空间, 当

两种运算的封闭性
1. $(\forall\alpha,\beta\in V),\alpha+\beta\in V$
2. $(\forall\alpha\in V,k\in\mathbb{P}),k\alpha\in V$
加法交换律: $(\forall\alpha,\beta\in V),\alpha+\beta=\beta+\alpha$
加法结合律: $(\forall\alpha,\beta,\gamma\in V),(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
"零元": $(\exists\theta\in V,\forall\alpha\in V),\alpha+\theta=\alpha$
"逆元": $(\forall\alpha\in V,\exists-\alpha\in V),\alpha+(-\alpha)=\theta$
数乘与加法的分配律(2 条):
1. 左:
  $(\forall\alpha,\beta\in V,k\in\mathbb{P}),k\cdot(\alpha+\beta)=k\cdot\alpha+k\cdot\beta$
2. 右:
  $(\forall\alpha\in V,k,l\in\mathbb{P}),(k+l)\cdot\alpha=k\cdot\alpha+l\cdot\alpha$
数乘结合律: $(\forall\alpha\in V,k,l\in\mathbb{P}),(kl)\cdot\alpha=k\cdot(l\cdot\alpha)$
"幺元": $(\exists 1\in\mathbb{P},\forall\alpha\in V),1\cdot\alpha=\alpha$

在不引起混淆的情况下可简记为 $V$

简单性质

$\theta$ 唯一, 称其为零向量
$\forall\alpha\in V,-\alpha$ 唯一, 称其为 $\alpha$ 的负向量
$(\exists0\in\mathbb{P},\forall\alpha\in V),0\alpha=\theta$
$(\forall k\in\mathbb{P}),k\theta=\theta$
$(\forall\alpha\in V),(-1)\alpha=-\alpha$
无零因子: $(\forall\alpha\in V,k\in\mathbb{P}),k\alpha=\theta\implies k=0\lor\alpha=\theta$
加法的消去律: $(\forall\alpha,\beta,\gamma\in V),\alpha+\beta=\alpha+\gamma\implies\beta=\gamma$

证明都是很简单的, 也很有抽象代数的味道

其中在证明某一代数系统为线性空间时, <u>加法的消去律可用来替代存在零向量和存在负向量两条条件</u>

简单说说消去律是怎么推出后者的

首先, 我们有 $(\forall\alpha,\beta\in V),0\alpha+\alpha=(0+1)\alpha=1\alpha=\alpha,0\beta+\beta=\beta$

可推出 $0\alpha+(\alpha+\beta)=\alpha+\beta,0\beta+(\alpha+\beta)=\beta+\alpha=\alpha+\beta$

即 $0\alpha+(\alpha+\beta)=0\beta+(\alpha+\beta)$

从而 $(\forall\alpha,\beta\in V),0\alpha=0\beta=:\theta$

此时 $\theta$ 即为零向量

又 $(\forall\alpha\in V),\alpha+(-1)\alpha=(1+(-1))\alpha=0\alpha=\theta$

故任意向量均存在负向量

另外一些零碎的定义, 如 $G[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n]$ 就略去了

例子

$\mathbb{P}$ 上的 $n$ 维向量对于向量的加法和 $\mathbb{P}$ 中的数乘
$\mathbb{P}$ 上的 $m\times n$ 矩阵对于矩阵的加法和 $\mathbb{P}$ 中的数乘
代数系统 $(\mathbb{P}^2,\oplus,\odot,\mathbb{P})$, 其中
- $(\forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{P}^2),(x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2):=(x_1+y_1,x_2+y_2+x_1y_1)$
- $(\forall(x_1,x_2)\in\mathbb{P}^2,k\in\mathbb{P}),k\odot(x_1,x_2):=\left(kx_1,kx_2+\frac{k(k-1)}{2}x_1^2\right)$
(没错这个真的是个线性空间)
区间 $[a,b]$ 上全体连续函数 $C[a,b]$ 关于连续函数的加法和数与连续函数的数乘
线性空间 $V$ 上的全体线性变换 $L(V)$ 关于线性变换的加法和数与线性变换的数乘

线性子空间

线性空间是基于集合的, 自然也会继承集合的许多概念, 当然这些概念需要重定义一下

定义

对于线性空间 $V$, 称 $V_1$ 为 $V$ 的线性子空间, 若 $\varnothing\ne V_1\subseteq V$(注意此处的 $V$ 是集合), 同时 $V_1$ 关于 $\oplus,\odot$($V$ 构成 $\mathbb{P}$ 上线性空间的两种合成)构成 $\mathbb{P}$ 上的线性空间

简称为子空间, 记作 $V_1\leqslant V$

如果把上述定义中的 $\subseteq$ 换成 $\subsetneqq$, 则可得到真子空间的定义, 记作 $V_1<V$

注意子空间一定是非空的, 因为最小的线性空间是 ${\theta}$

<a href="#end-t-2-2-1" id="t-2-2-1">定理 - 2-1</a>(子空间判定定理)

令 $V_1$ 为以线性空间的非空子集, 则 $V_1$ 为 $V$ 的子空间当且仅当加法和数乘封闭, 即

$(\forall\alpha,\beta\in V_1),\alpha+\beta\in V_1$
$(\forall\alpha\in V_1,k\in\mathbb{P}),k\alpha\in V_1$

证明很简单就省略了

子空间的交, 和与直和

类似集合的交, 我们可定义子空间的交为 $V_1\cap V_2$, 显然其为 $V_1,V_2$ 所有公共子空间的最大子空间

不过 $V_1\cup V_2$ 就不一定是子空间了, $V_1\cup V_2$ 是子空间当且仅当 $V_1\subseteq V_2$ 或 $V_2\subseteq V_1$

子空间的和是这样定义的: $V_1+V_2:={\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2}$, 显然这样定义出来的仍是子空间, 显然其为所有包含 $V_1,V_2$ 的子空间中的最小子空间

进一步, 子空间的直和要求集合中所有元素的 $\alpha_1,\alpha_2$ 的选取是唯一的, 记作 $V_1\oplus V_2$ (我的课本上记作 $V_1\dotplus V_2$, 不过 $\dotplus$ 的辨识度太低, 所以我不是很喜欢这种写法)

正如集合的并和交可以推广到多个集合间, 子空间的并, 和与直和也是可以的

<a href="#end-t-2-2" id="t-2-2">定理 - 2-2</a>(直和判定定理)

令 $V$ 为线性空间, $V_1,V_2\leqslant V$, 则下列诸款等价:

$V_1+V_2$ 是直和
$V_1+V_2$ 中存在向量 $\beta$, 使得拆分为 $V_1$ 和 $V_2$ 中的向量和的方式唯一 (任意 $\to$ 存在)
$\theta$ 拆分为 $V_1$ 和 $V_2$ 中的向量和的方式唯一
$V_1\cap V_2={\theta}$
$\dim V_1+\dim V_2=\dim(V_1+V_2)$
若 $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_m)$ 是 $V_1$ 的一组基, $(\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_n)$ 是 $V_2$ 的一组基,
则 $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_n)$ 是 $V_1+V_2$ 的一组基

<a href="#t-2-2" id="p-t-2-2">证明</a>

$1\implies2$, 显然

$2\implies3$,

令 $\beta=\beta_1+\beta_2,\beta_1\in V_1,\beta_2\in V_2$, 若 $\theta=\alpha_1+\alpha_2,~\alpha_1\ne\theta,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2$, 则

$$ \beta=\beta+\theta=(\beta_1+\alpha_1)+(\beta_2+\alpha_2) $$

而 $\beta_1\ne\beta_1+\alpha_1$, 与条件矛盾

$3\implies4$,

令 $\theta\ne\alpha\in V_1\cap V_2$, 则 $\theta=\alpha+(-\alpha)$, 与条件矛盾

$4\implies1$,

若 $V_1+V_2$ 不是直和, 则存在 $\beta\in V_1+V_2$ 使得 $\beta=\beta_1+\beta_2=\gamma_1+\gamma_2$,
其中 $\beta_1,\gamma_1\in V_1,\beta_2,\gamma_2\in V_2,(\beta_1,\beta_2)\ne(\gamma_1,\gamma_2)$

则

$$ \theta\ne\beta_1-\gamma_1=\gamma_2-\beta_2\in V_1\cap V_2 $$

与条件矛盾

1, 5, 6 之间关系可由 <a href="#t-3-1">定理 - 3-1</a> 直接推得

实际证明 $V=V_1\oplus V_2$ 时往往分为如下步骤:

证明 $V=V_1+V_2$, 多用双包含法证明
证明 $V_1+V_2$ 是直和

直和其实很有用, 它是研究线性空间结构的有力工具之一

基底, 维数, 坐标

基底也是研究线性空间结构的有力工具之一

本篇文章只讨论有限维的线性空间

(有限)生成集与维数

令 $V$ 为 $\mathbb{P}$ 上一线性空间, $\varnothing\ne S\subseteq V$, 称 $S$ 为 $V$ 的生成集, 如果

$$ (\forall\alpha\in V,\exists n\in\mathbb{N}^+,\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\in S,k_0,k_1,\dots,kn\in\mathbb{P}),\alpha=\displaystyle\sum{i=1}^nk_i\alpha_i $$

(就是能线性表出 $V$ 中任意向量的一组向量)

$\operatorname{rk}S$ 即为 $V$ 的维数, 记作 $\dim V$

具有有限生成集的线性空间为有限维的线性空间

显然, $V$ 的一组极大线性无关组含向量数即为 $V$ 的维数

基底与坐标

令 $V$ 为 $\mathbb{P}$ 上一线性空间, $\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$ 为 $V$ 的一组极大线性无关组, 则

$$ (\forall\alpha\in V,\existsk_0,k_1,\dots,kn\in\mathbb{P}),\alpha=\displaystyle\sum{i=1}^nk_i\epsilon_i $$

则称有序向量组 $(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$ 为 $V$ 的一组基底

$(k_0,k_1,\dots,k_n)\in\mathbb{P}^n$ 为 $\alpha$ 在该基底下的坐标

显然基底有无穷多组

显然 $n$ 维线性空间 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关向量组均可构成一组基底

例子

$\mathbb{P}[x]$ 即为无限维的
${\theta}$ 为 0 维的, 称作平凡线性空间
对于 $n$ 维线性空间 $\mathbb{P}n[x]$ 中向量 $\alpha=f(x)=\displaystyle\sum{i=0}^{n-1}a_ix^i$

显然 $(1,x^1,x^2,...,x^{n-1})$ 为一组基底, 对应的坐标为 $(a_0,a_0,a1,\dots,a{n-1})$

又由 Taylor 公式可得 $f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{f^{(i)}(a)\over i!}(x-a)^i$

故 $\left(1,x-a,(x-a)^2,...,(x-a)^{n-1}\right)$ 为一组基底, 对应的坐标为 $(f(a),f'(a),...,{f^{(n-1)}(a)\over(n-1)!})$, 当 $a=0$ 时, 即为前述情况

<a href="#end-t-3-1" id="t-3-1">定理 - 3-1</a>(维数公式)

令 $V$ 为有限维线性空间, $V_1,V_2\leqslant V$, 则

$$ \dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2 $$

<a href="#t-3-1" id="p-t-3-1">证明</a>

令 $\dim V_1=n_1,\dim V_2=n_2,\dim(V_1\cap V_2)=l$, 只需证 $\dim(V_1+V_2)=n_1+n_2-l$

取 $V_1\cap V_2$ 中一组基 $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l)$, 其可在 $V_1,V_2$ 中分别扩充为
$(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta1,\dots,\beta{n_1-l}),(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\gamma_0,\gamma1,\dots,\gamma{n_2-l})$

如果 $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta1,\dots,\beta{n_1-l},\gamma_0,\gamma1,\dots,\gamma{n_2-l})$ 为 $V_1+V_2$ 的一组基, 则命题得证

显然 $V_1+V_2=G[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta1,\dots,\beta{n_1-l},\gamma_0,\gamma1,\dots,\gamma{n_2-l}]$

则只需证明 $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta1,\dots,\beta{n_1-l},\gamma_0,\gamma1,\dots,\gamma{n_2-l}$ 线性无关即可

考虑 $\displaystyle\sum_{i=1}^lk_i\alphai+\sum{i=1}^{n_1-l}p_i\betai+\sum{i=1}^{n_2-l}q_i\gamma_i=\theta$

则 $\displaystyle\sum_{i=1}^lk_i\alphai+\sum{i=1}^{n_1-l}p_i\betai=\sum{i=1}^{n_2-l}(-q_i)\gamma_i=:\alpha$

可知等式左端 $\in V_1$, 右端 $\in V_2$, 故 $\alpha\in V_1\cap V_2$

$\alpha$ 可写成 $\displaystyle\sum_{i=1}^lr_i\alpha_i$

则
$\displaystyle\sum_{i=1}^lr_i\alphai+\sum{i=1}^{n_2-l}q_i\gamma_i=\theta\implies r_i=q_j=0,~i=1,2,...,l;j=1,2,...,n_2-l$

此式说明 $\alpha=\theta$, 故 $k_i=p_j=0,~i=1,2,...,l;j=1,2,...,n_1-l$

因此 $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta1,\dots,\beta{n_1-l},\gamma_0,\gamma1,\dots,\gamma{n_2-l}$ 线性无关

这个公式很重要

例题

<a href="#end-prob-3-1" id="prob-3-1">习题 - 3-1</a>

令 $W$ 是 $\mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $\mathbb{P}^n$ 的非平凡子空间, 证明:
若关于 $W$ 的每个向量 $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alphan)$ 均或者 $\alpha{1}=\alpha{2}=...=\alpha{n}=0$, 或者 $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\ne 0$, 则 $\dim W=1$

<a href="#prob-3-1" id="p-prob-3-1">解</a>

假设 $\dim W\geqslant2$, 则 $W$ 中存在两线性无关向量 $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)$ 满足

$$ (\exists1<i\leqslant n),k:=\frac{a_1}{b_1}\ne\frac{a_i}{b_i} $$

从而 $\alpha-k\beta=(0,...,a_i-kb_i,...,a_n-kb_n)\in W, a_i-kb_i\ne0$, 矛盾!

故 $\dim W=1$

<a href="#end-prob-3-2" id="prob-3-2">习题 - 3-2</a>

证明:
$W={f(x)\in\mathbb{R}[x]|f(1)=0;\partial f(x)\leqslant n~or~f(x)=0}$ 为 $\mathbb{R}$ 上线性空间, 并求出其一组基底

<a href="#prob-3-2" id="p-prob-3-2">解</a>

容易验证 $W$ 为 $\mathbb{R}$ 上线性空间

$(\forall f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^na_ix^i\in W),f(1)=0\implies a0=-\sum{i=1}^nai\implies f(x)=\sum{i=1}^na_i(x^i-1)$

又 $\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i(x^i-1)=0\implies k_1=k_2=...=k_n=0$

故 $(x-1,x^{2}-1,...,x^{n}-1)$ 即为 $W$ 上的一组基底

坐标变换

同一个线性空间有多组基, 一组基中的所有向量能被另一组基线性表出, 本节便研究向量的坐标在不同基之间的转化

类矩阵

$V$ 的一组基底 $(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$ 被称作类矩阵, 因为其一些性质与矩阵类似

分配律:
1. 左:
  $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A+(\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_n)A=(\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_n+\beta_n)A$
2. 右:
  $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A+(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)B=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)(A+B)$
数乘的交换律: $k(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A=(k\alpha_0,k\alpha_1,\dots,k\alpha_n)A=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)(kA)$
矩阵乘法的结合律: $[(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A]B=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)AB$

但由于线性空间的向量不一定是列向量, 故类矩阵不一定能看作矩阵分块

有了类矩阵的概念, 我们就可以得到向量的另一种记法

设向量 $\alpha$ 在 $(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$ 下的坐标为 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$, 则 $\alpha$ 可记作

$$ \alpha=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\begin{bmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{bmatrix} $$

过渡矩阵

设 $(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$ 和 $(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)$ 是 $V$ 的两组基底, 则 $\exists T\in\mathbb{P}^{n\times n}$ 使得

$$ (\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)T\tag{1} $$

则称 $T$ 为 $(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$ 到 $(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)$ 的过渡矩阵

显然, $T$ 是可逆的, 否则 $(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)$ 线性相关

坐标变换

设向量 $\alpha$ 在 $(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n),(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)$ 下的坐标分别为 $(x_1,x_2,\dots,x_n),(x'_0,x'_1,\dots,x'_n)$, 则

$$ \begin{aligned} \alpha=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\begin{bmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{bmatrix}&=(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)\begin{bmatrix} x'_1\x'_2\\vdots\x'_n \end{bmatrix}\ &=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)T\begin{bmatrix} x'_1\x'_2\\vdots\x'_n \end{bmatrix}\ &=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)(T\begin{bmatrix} x'_1\x'_2\\vdots\x'_n \end{bmatrix}) \end{aligned} $$

故

$$ \begin{bmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} x'_1\x'_2\\vdots\x'_n \end{bmatrix} $$

此即为 $\alpha$ 的坐标变换公式

(在之后的笔记中我们可以看到, $T$ 对应一个线性变换 $\bold{T}$)

过渡矩阵的求法

定义
若线性空间为 $\mathbb{P}^n$, 则类矩阵即为矩阵, 式(1)即为 $B=AT$, 则 $T=A^{-1}B$
若已知 $n$ 个线性无关向量 $\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 在两基底下的坐标, 则求法同上

(线性)同构

同构自然也是研究线性空间结构的有力工具之一

如果两套代数系统同构, 那么两者的许多基于运算的性质就都是相通的了

线性空间上的同构定义与通常意义上的同构定义一致, 即
称两线性空间 $V_1$ 与 $V_2$ 同构, 若存在双射$f:V_1\to V_2$ 满足

$(\forall\alpha,\beta\in V_1,k,l\in\mathbb{P}),f(k\alpha+l\beta)=kf(\alpha)+lf(\beta)$

(即保持加法和数乘)

称上述 $f$ 为同构映射, 记 $V_1$ 与 $V_2$ 同构为 $V_1\cong V_2$

容易证明同构是等价关系, 即满足自反性, 对称性, 传递性

证明两线性空间同构即寻找同构映射

我们有一个很重要的定理

<a id="t-5-1">定理 - 5-1</a>

设 $V$ 为在 $\mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间, 则 $V\cong\mathbb{P}^n$

这也正好说明了我们把线性空间中的元素称为向量的合理性

这个同构映射很好构造, 证明就略去了

由此我们可以得到一条重要推论

<a id="ifr-5-1">推论 - 5-1</a>

$\mathbb{P}$ 上线性空间 $V_1,V_2$ 同构 $\iff\dim V_1=\dim V_2$

例题

<a href="#end-prob-5-1" id="prob-5-1">习题 - 5-1</a>

设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, 证明:
存在 $V$ 的无限子集 $S$, 使得 $S$ 中任意 $n$ 个向量是线性无关的

<a href="#prob-5-1" id="p-prob-5-1">解</a>

这类题往往可以通过 $V$ 与 $\mathbb{P}^n$ 同构并利用 Vandermonde 行列式等解决

注意到 $\mathbb{P}^n$ 中形如

$$ (1,a,a^2,...,a^{n-1}),a\in\mathbb{N}^* $$

的向量有无限个

这些向量中的任意 $n$ 个均可构成非 0 的 Vandermonde 行列式, 故这些向量线性无关

又由 $n$ 维线性空间与 $\mathbb{P}^n$ 同构可知命题成立

<a href="#end-prob-5-2-2" id="prob-5-2">习题 - 5-2</a>

设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, 证明:
若 $V_i<V,~i=1,2,...,m$, 则存在 $\alpha\in V$ 使得 $\alpha\notin V_i,~i=1,2,...,m$

本题给出两种证明方法, 以凸显同构的强大之处

<a href="#prob-5-2" id="p-prob-5-2-1">解 - 1</a>(数学归纳法)

当 $m=1$ 时, 命题显然成立
当 $m=2$ 时, 取 $\alpha\in V/V_1$, 若 $\alpha\notin V_2$, 则命题成立, 否则 $\exists\beta\in V/V_2$

可知 $k\alpha+\beta\notin V_2,\forall k\in\mathbb{P}$, 否则可推出 $(k\alpha+\beta)-k\alpha=\beta\in V_2$

取 $k_1,k_2\in\mathbb{P},k_1\ne k_2$

则 $k_1\alpha+\beta\in V_1$ 和 $k_2\alpha+\beta\in V_1$ 不同时成立, 否则可推出
$(k_1\alpha+\beta)-(k_2\alpha+\beta)=(k_1-k_2)\alpha\in V_1$

因此当 $m=2$ 时命题成立
假设 $m-1$ 时命题成立, 则 $(\exists\alpha\in V),\alpha\notin V_i,i=1,2,...,m-1$, 若 $\alpha\notin V_m$, 则命题成立, 否则 $\exists\beta\in V/V_m$

可知 $k\alpha+\beta\notin V_m,\forall k\in\mathbb{P}$, 否则可推出 $(k\alpha+\beta)-k\alpha=\beta\in V_m$

取 $k_1,k_2\in\mathbb{P},k_1\ne k_2$

则 $k_1\alpha+\beta\in V_i$ 和 $k_2\alpha+\beta\in V_i$ 不同时成立, $(i=1,2,...,m-1)$, 否则可推出 $(k_1\alpha+\beta)-(k_2\alpha+\beta)=(k_1-k_2)\alpha\in V_i$

此时取 $m$ 个不相等的数 $k_1,k_2,...,k_m$, 可知
$(\exists k\in{k_1,k_2,...,k_m}),k\alpha+\beta\notin V_i,i=1,2,...,m-1$, 又由 $k\alpha+\beta\notin V_m$ 可知该向量即为所求

<a href="#prob-5-2" id="p-prob-5-2-2">解 - 2</a>(同构)

注意到 $\mathbb{P}^n$ 中形如

$$ (1,a,a^2,...,a^{n-1}),a\in\mathbb{N}^* $$

的向量有无限个

这些向量中的任意 $n$ 个均可构成非 0 的 Vandermonde 行列式, 故这些向量线性无关

而 $V_1,V_2,\dots,V_s$ 最多只需使用其中 $m(n-1)$ 个向量张成, 故在 $V$ 中总能找到满足要求的向量

线性方程组的解空间

如果线性方程组为齐次线性方程组, 则其解构成一线性空间, 我们把它称作解空间, 反之不然

这个结论是显然的

进一步, 我们有如下定理:

<a href="#end-t-6-1" id="t-6-1">定理 - 6-1</a>

对于 $\mathbb{P}^n$ 上的任意 $t$ 维子空间 $S_0$, 均存在齐次线性方程组, 使得其解空间恰为 $S_0$

(全体齐次线性方程组与全体线性子空间构成满同态)

<a href="#t-6-1" id="p-t-6-1">证明</a>

显然,

当 $t=0$ 时, 任意满秩的 $n$ 元齐次线性方程组均满足条件
当 $t=n$ 时, 系数矩阵为 $O$ 的 $n$ 元齐次线性方程组满足条件

现讨论 $0<t=\dim S_0<n$ 的情况

取 $S_0$ 的一组基底 $(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_t),~\alphai=(a{i1},a{i2},...,a{in}),~i=1,2,...,t$

则 $\operatorname{rk}(a{ij}){t\times n}=t$

齐次线性方程组

$$ (a{ij}){t\times n}\begin{bmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{bmatrix}=\theta $$

有 $n-t$ 个解 $\betai=(b{i1},b{i2},...,b{in})^T,~i=1,2,...,n-t$ 张成解空间

故齐次线性方程组

$$ (b{ij}){(n-t)\times n}\begin{bmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{bmatrix}=\theta $$

有 $t$ 个解 $\alphai=(a{i1},a{i2},...,a{in}),~i=1,2,...,t$ 张成解空间

例题

<a href="#end-prob-6-1" id="prob-6-1">习题 - 6-1</a>

证明: $n$ 维线性空间的任何真子空间均可表示成若干个 $n-1$ 维子空间的交

<a href="#prob-6-1" id="p-prob-6-1">解</a>

上面我们已经证明了: 对于任意 $r$ 维子空间, 均存在系数矩阵的秩为 $n-r$ 的齐次线性方程组, 使得其解空间恰为该子空间

特别的, 对任意 $n-1$ 维子空间, 均存在齐次线性方程, 使得其解空间恰为该子空间

另外, 子空间的交在齐次线性方程组中即为方程组的合并

那么结论就显然成立了

<a href="#end-prob-6-2" id="prob-6-2">习题 - 6-2</a>

令 $f(x),g(x)\in\mathbb{P}[x],(f(x),g(x))=1,A\in\mathbb{P}^{n\times n}$, 证明:
齐次线性方程组 $f(A)g(A)X=0$ 的解空间 $V$ 是 $f(A)X=0,g(A)X=0$ 的解空间 $V_1,V_2$ 的直和, 其中 $X=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$

<a href="#prob-6-2" id="p-prob-6-2">解</a>

注意到
$\alpha\in V_1,\beta\in V_2\implies f(A)\alpha=g(A)\beta=0\implies f(A)g(A)\alpha=f(A)g(A)\beta=0\implies\alpha,\beta\in V$

故 $V_1,V_2\leqslant V$
又由 $(f(x),g(x))=1$ 知 $\exists u(x),v(x)\in\mathbb{P}[x]$ 使得 $f(A)u(A)+g(A)v(A)=E$

则 $\forall\alpha\in V,\alpha=f(A)u(A)\alpha+g(A)v(A)\alpha\xlongequal[\alpha_2=g(A)v(A)\alpha]{\alpha_1=f(A)u(A)\alpha}\alpha_1+\alpha_2$

可得 $g(A)\alpha_1=u(A)(f(A)g(A)\alpha)=0$, 故 $\alpha_1\in V_2$, 同理 $\alpha_2\in V_1$, 因此 $V=V_1+V_2$
又令 $\beta\in V_1\cup V_2$, 则有 $f(A)\beta=g(A)\beta=0$

于是 $\beta=(f(A)u(A)+g(A)v(A))\beta=0$, 即 $V_1\cup V_2={0}$

因此 $V=V_1\oplus V_2$

参考资料

高等代数教程/郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀编著. ——北京: 科学出版社, 2014. 7