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title: 课程笔记 - 普通物理 categories:
期末复习写的, 十分粗糙(尤其力学部分)
<!-- more -->极坐标系
定义 $\displaystyle\omega:={\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t},~\beta:={\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}$
则
自然坐标系
设 $\rho$ 为曲率半径, 则 $a_n=\displaystyle\frac{v^2}{\rho}$
证明 Kepler 行星第二定律
$$ \bm{F}=-\displaystyle G{m{earth}m\over\rho^2}\bm{e{\rho}} $$
$$ \bm{a}=-G\displaystyle{m{earth}\over\rho^2}\bm{e{\rho}}=a{\rho}\bm{e{\rho}}+a{\theta}\bm{e{\theta}}\implies\begin{cases} \displaystyle\left({\mathrm{d}^2\rho\over\mathrm{d}t^2}-\rho\left({\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\right)^2\right)=-G\displaystyle{m_{earth}\over\rho^2}\ \displaystyle\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)=0 \end{cases} $$
又单位时间扫过面积为
$$ {\mathrm{d}S\over\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\rho^2{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t} $$
而
$$ {\mathrm{d}^2S\over\mathrm{d}t^2}=\frac{1}{2}\rho\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)=0 $$
故成立
<a href="#p-prob-1.1.1" id="end-prob-1.1.1">$\Box$</a>
$$ \bm{r}_c={\sum_n m_i\bm{r}_i\over\sum_n m_i}=\frac{\sum_n m_ix_i}{\sum_n m_i}\bm{i}+\frac{\sum_n m_iy_i}{\sum_n m_i}\bm{j}+\frac{\sum_n m_iz_i}{\sum_n m_i}\bm{k} $$
若质量连续分布, 则
$$ \bm{r}_c={\int x\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{i}+{\int y\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{j}+{\int z\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{k} $$
$$ \sum_n\bm{F}_i=m\bm{a}_c $$
{% note info %} 电磁场具有动量 (p71) {% endnote %}
$$ v-v_0=u\ln N $$
$$ \bm{M}:=\bm{r}\times\bm{F}=\begin{vmatrix} \bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\ x&y&z\ F_x&F_y&F_z \end{vmatrix}=:M_x\bm{i}+M_y\bm{j}+M_z\bm{k} $$
$$ \bm{l}:=\bm{r}\times m\bm{v} $$
$$ \bm{M}={\mathrm{d}\bm{l}\over\mathrm{d}t} $$
质点对力心的角动量守恒
$$ \bm{M}_{out}={\mathrm{d}\bm{L}\over\mathrm{d}t} $$
$$ J=\int r^2\mathrm{d}m=\int r^2\rho\mathrm{d}V $$
$$ E_k=\frac{1}{2}J\omega^2 $$
平行轴定理
$$ J_d=J_c+md^2 $$
垂直轴定理
$$ J_x=J_y+J_z+\iiint_Vr^2\mathrm{d}m $$
$$ M\longleftrightarrow F $$
$$ \alpha\longleftrightarrow a $$
$$ J\longleftrightarrow m $$
$$ \omega\longleftrightarrow v $$
$$ L\longleftrightarrow p $$
$$ E_k=\frac{1}{2}J\omega^2 $$
$$ \mathrm{d}A=M_z\mathrm{d}\theta $$
$$ P=M_z\omega $$
$$ L_z=J\omega $$
$$ M_z\mathrm{d}t=\mathrm{d}L_z $$
比例极限 -> 弹性极限 -> 塑性极限 -> 强度极限
加工硬化
$\epsilon_n=\frac{\Delta l}{l}$, $\sigma_n=\frac{F_n}{S}$
$\epsilon_t=\tan\psi\sim\psi~(\psi\to0)$ ($\psi:$ 剪切角), $\sigma_t=\frac{F_t}{S}$ ($S:$ 横截面)
$\sigma_n=E\epsilon_n$
$\sigma_t=G\epsilon_t$
对大多数各向同性且均匀的固体材料, $G\thickapprox 0.4E$
$$ \mathrm{d}Q_V=v\mathrm{d}S $$
{% note warning %} 流量的量纲为 $L^3$ {% endnote %}
理想流体: $Sv=\texttt{const}$
一般流体: $\rho Sv=\texttt{const}$ (质量)
平均流速: $\bar{v}=\displaystyle\frac{Q_V}{S}$
$$ \frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\texttt{const} $$
水平流管: $p+\frac{1}{2}\rho v^2=\texttt{const}$
$$ F=\pm\eta\left({\mathrm{d}v\over\mathrm{d}z}\right)_{z_0}\Delta S $$
$$ p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2+w $$
减小粘性损耗:
$$ Q_V=\frac{\pi}{8\eta}\left(\frac{p_1-p_2}{l}\right)r^4 $$
($l:$ 长度, $r:$ 半径)
水平圆管道: $w=\displaystyle\frac{8\eta l}{r^2}\bar{v}$
$$ F=6\pi\eta rv $$
$$ x=A\cos(\omega t+\varphi) $$
$$ v=A\omega\sin(\omega t+\varphi) $$
$$ E=\frac{1}{2}kA^2 $$
$$ v^2=\omega^2(A^2-x^2) $$
$$ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}\in[|A_1-A_2|,A_1+A_2] $$
$$ \varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} $$
$$ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos((\omega_2-\omega_1)t+\varphi_2-\varphi_1)}\in[|A_1-A_2|,A_1+A_2] $$
拍频 $\nu=2A\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)=|\nu_2-\nu_1|$
频率相同:
$x=A\cos(\omega t+\alpha),~y=A\cos(\omega t+\beta)$
$$ \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}\cos(\beta-\alpha)=\sin^2(\beta-\alpha) $$
椭圆
频率不同:
$$ p=\frac{1}{3}nm_0\bar{v^2}=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon}_k $$
$$ p=nkT $$
$$ \bar{\epsilon}_k=\frac{1}{2}m_0\bar{v^2}=\frac{3}{2}kT $$
一个与外界没有电荷交换的孤立系统, 无论发生什么变化, 整个系统的电荷总量(正负电荷的代数和)保持不变
$r\gg l$ 时, 由一对电荷量相等, 符号相反的点电荷组成的系统称作电偶极子
由负电荷到正电荷引出的有向线段 $\bm{l}$ 称作电偶极子的轴
电矩: $\bm{p}:=q\bm{l}$
性质: 电偶极子中垂面上任意一点的电场强度 $E=-{\bm{p}\over 4\pi\epsilon_0r^3}$
$$ \bm{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a}\bm{j} $$
对闭合的曲面 $S$: $\Phi_e:=\oint_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$
规定法线 $\bm{e}_n$ 的正方向为垂直于曲面且指向闭合曲面外部
$$ \oint_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V $$
或
$$ \nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} $$
证明: 由 Stokes 公式易得
Gauss 面内无电荷 $\impliedby\atop{\Longrightarrow}\llap{/\enspamathrm}$ Gauss 面上的电场强度处处为零
$$ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=0 $$
保守场 $\implies\atop{\Longleftarrow}\llap{/\thickspamathrm}$ 无旋场 (https://dxwl.bnu.edu.cn/CN/Y1985/V1/I2/48)
$$ V_P=\frac{W_P}{q_0}=\int_P^{\infty}\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l} $$
$$ A_{PQ}=W_P-W_Q $$
以无穷远点为零电势点
$$ V_p=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\mathrm{d}q\over r} $$
$$ \bm{E}=-\nabla V $$
电势梯度: $\nabla V$, 电势面法线方向的电势变化率, 方向沿电势增大方向
$$ \nabla V=\frac{\partial V}{\partial n}\bm{e}_n $$
$$ V={\bm{p}\cdot\bm{r}\over4\pi\epsilon_0r^3} $$
$$ E_r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3} $$
$$ E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3} $$
在外加电场的作用下, 电介质表面也会产生电荷 (极化)
无极分子电介质 ($\mathrm{H_2}, \mathrm{N_2}, \mathrm{CH_4}$) 位移极化
$$ \bm{P}:={\sum\bm{p}\over\Delta\tau} $$
单位: $\mathrm{C\cdot m^{-2}}$
$$ \sigma'=\bm{P}\cdot\bm{e}_n $$
$$ \oint_S\bm{P}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V\mathrm{d}q $$
平行板电容器 $\implies$
极化率 $\chi_e$
对各向同性的电介质, $\bm{P}=\chi_e\epsilon_0\bm{E}$ (P281)
相对电容率 $\epsilon_r:=1+\chi_e$
当电容器两极板间电容率变为 $\epsilon_r$ 倍时, 电容变大 $\epsilon_r$ 倍
$$ \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\rho\mathrm{d}V $$
$$ \nabla\cdot\bm{D}=\rho $$
电位移 $\bm{D}:=\epsilon_0\bm{E}+\bm{P}$
对各向同性的电介质: $\bm{D}=\epsilon\bm{E}$
能量定域于场
平行板电容器极板间能量 $We=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU{AB}=\frac{1}{2}CU_{AB}^2$
平行板电容器中静电能能量密度 $w_e=\frac{1}{2}DE$
真空中, $w_e=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2$
非匀强电场中, $w_e=\frac{1}{2}DE$, $W_e=\int_Vw_e\mathrm{d}V$
电流密度
$$ \bm{j}={\mathrm{d}I\over\mathrm{d}S}\bm{e}_n $$
单位: $\mathrm{A\cdot m^{-2}}$
$$ I=\int_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
电流就是电流密度通量
电流场
单位时间内流出闭合曲面 $S$ 的电荷量等于同一时间内 $S$ 所包围的电荷量的减少, 即
$$ \oint_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-{\mathrm{d}q\over\mathrm{d}t}=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_V\rho\mathrm{d}V $$
或
$$ \nabla\cdot\bm{j}=-\frac{\partial\rho}{\partial t} $$
电流场不随时间变化的电流
$$ \oint_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0 $$
$$ \nabla\cdot\bm{j}=0 $$
Coulomb 电场: 恒定电场与静电场
电导 $G$
$$ \rho:=\frac{E}{j} $$
对于金属材料, 通常温度范围内, $\rho=\rho_0(1+\alpha t)$
电导率 $\sigma$
$$ \bm{j}=\sigma\bm{E} $$
$$ \mathrm{d}\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}{I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{r}\over r^3} $$
整条导线 $L$: $\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_L{I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{r}\over r^3}$
$$ B=\frac{\mu_0I}{2\pi a} $$
$$ B={\mu_0R^2\over2(R^2+a^2)^\frac{3}{2}} $$
$$ \bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}{q\bm{v}\times\bm{r}\over r^3}=\mu_0\epsilon_0\bm{v}\times\bm{E}=\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E} $$
圆形电流: $\bm{m}:=nIS\bm{e}_n$
$\bm{e}_n$ 指向与 $I$ 满足右螺旋关系
$$ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0 $$
$$ \nabla\cdot\bm{B}=0 $$
$$ \oint_L\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\bm{\mu}0\sum{i}I_i $$
积分方向与电流方向满足右螺旋时取正值, 满足左螺旋时取负值
又由
$$ \oint_L\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S(\nabla\times\bm{B})\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
$$ \sum_iI_i=\int_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
则有微分形式
$$ \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j} $$
$$ B=\mu_0nI $$
$$ B=\mu_0nI $$
$$ \mathrm{d}\bm{F}=I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B} $$
$$ \bm{F}=\int_LI\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B} $$
单位长度所受力
$$ f=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{a} $$
电流方向相同则相互吸引
规定线圈平面法向于电流方向满足右螺旋关系
$$ \bm{M}=\bm{m}\times\bm{B} $$
$\alpha:=\lang\bm{B},\bm{m}\rang$
在非匀强磁场中, 线圈在转动之外, 还会向磁场较强的方向运动
Hall 效应
Hall 系数 $K_H=\frac{1}{nq}$
磁介质
顺磁质
抗磁质
磁化
磁化强度: 单位体积内分子磁矩矢量和
$$ \bm{M}:={\sum\bm{m}\over\Delta\tau} $$
均匀磁化
$i'$
螺线管内部:
$$ \ointL\bm{M}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\sum{\text{In}~L}I' $$
介质表面: $\bm{M}\times\bm{e}_n=\bm{i}'$
介质表面磁化电流密度只与磁化强度沿表面的切向分量有关, 而与法向分量无关
$$ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_V\bm{j}_0\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
其中 $\bm{j}_0$ 为传导密度, $S$ 是以 $L$ 为边界的曲面
$$ \nabla\times\bm{H}=\bm{j}_0 $$
对于各向同性的顺磁质和抗磁质
绝对磁导率 $\mu:=\mu_0\mu_r$
顺磁质: $\chi_m>0,\mu_r\gtrapprox 1$
| 电 | 公式 | 磁 | 公式 | |
|---|---|---|---|---|
| 物理量 | 极化强度 $\bm{P}$ | 磁化强度 $\bm{M}$ | ||
| $\displaystyle\bm{P}:={\sum\bm{p}\over\Delta\tau}$ | $\displaystyle\bm{M}:={\sum\bm{m}\over\Delta\tau}$ | |||
| $\bm{P}\cdot\bm{e}_n=\sigma'$ | $\bm{M}\times\bm{e}_n=\bm{i}'$ | |||
| $\displaystyle\oint_S\bm{P}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V\mathrm{d}q$ | $\displaystyle\oint_L\bm{M}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_V\bm{j}'\mathrm{d}V$ | |||
| 电位移 $\bm{D}$ | 磁场强度 $\bm{H}$ | |||
| $\bm{D}:=\epsilon_0\bm{E}+\bm{P}$ | $\bm{H}:={\bm{B}\over\mu_0}-\bm{M}$ | |||
| 极化率 $\chi_e$ | 磁化率 $\chi_m$ | |||
| 相对电容率 $\epsilon_r$ | 相对磁导率 $\mu_r$ | |||
| $\epsilon_r:=1+\chi_e$ | $\mu_r:=1+\chi_m$ | |||
| 绝对电容率 $\epsilon$ | 绝对磁导率 $\mu$ | |||
| $\epsilon:=\epsilon_0\epsilon_r$ | $\mu:=\mu_0\mu_r$ | |||
| 各向同性情况下 | $\bm{P}=\chi_e\epsilon_0\bm{E}$ | $\bm{M}=\chi_m\bm{H}$ | ||
| 边界条件 | $\bm{D}$ 的法向分量不变 | $\bm{B}$ 的法向分量不变 | ||
| $\bm{E}$ 的切向分量不变 | $\bm{H}$ 的切向分量不变 |
磁滞现象
磁滞回线
软磁材料
感应电荷
$$ qi=\int{t_1}^{t_2}Ii\mathrm{d}t=\int{\Phi_1}^{\Phi_2}-\frac{1}{R}\mathrm{d}\Phi=\frac{\Phi_1-\Phi_2}{R} $$
动生电动势
感生电动势
全电场 $\bm{E}=\bm{E}_C+\bm{E}_W$
$$ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
$$ \nabla\times\bm{E}=-{\partial\bm{B}\over\partial t} $$
感生电场与磁场变化率成左螺旋关系
$$ \Phi{12}=M{12}I_1 $$
互感电动势
$$ \epsilon2=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}(M{12}I_1) $$
线圈的形状, 大小和相对位置保持不变时
$$ \epsilon2=-M{12}{\mathrm{d}I_1\over\mathrm{d}t} $$
$M{12}=M{21}$
当线圈内或周围空间存在铁磁质时, $M$ 还与线圈中的电流有关
单位: $\mathrm{H}$, $1\mathrm{ H}=1\mathrm{ Wb\cdot A^{-1}}=1\mathrm{ V\cdot s\cdot A^{-1}}$
互感干扰
$$ \Phi=LI $$
单位: $\mathrm{H}$, $1\mathrm{ H}=1\mathrm{ Wb\cdot A^{-1}}=1\mathrm{ V\cdot s\cdot A^{-1}}$
自感电弧
$$ M=\mu_0\frac{N_1N_2}{l}S $$
$$ L=\mu n^2V $$
$L_1,L_2,M$
磁场能量密度 $w_m$
$$ w_m=\int_0^BH\mathrm{d}B $$
适用于真空和各向同性的磁介质
各向同性的顺磁质和抗磁质
$$ w_m=\frac{1}{2}BH $$
$$ W_m=\int_Vw_m\mathrm{d}V=\frac{1}{2}\int_VBH\mathrm{d}V $$
由各向同性的顺磁质或抗磁质作为磁芯的螺线管 (自感磁能)
$$ W_m=\frac{1}{2}LI^2 $$
电磁场
临界磁场
$$ B_C(T)=B_0\left(1-\left(\frac{T}{T_C}\right)^2\right) $$
超导态: $T<T_C$ 且 $B<B_C$
临界电流
$$ I_C(T)=I_0\left(1-\left(\frac{T}{T_C}\right)^2\right) $$
$I>I_C$ 时, 超导态变为正常态
零电阻性
完全抗磁性与零电阻性是超导体两种独立的基本性质
同位素效应 $T\propto A_r^{-1/2}$
电子与晶格之间的相互作用是超导现象中的重要因素
$$ \bm{j}_d:={\partial\bm{D}\over\partial t}=\epsilon{\partial\bm{E}\over\partial t}+{\partial\bm{P}\over\partial t} $$
适用于恒静和变化的电磁场
Gauss 定理
$$ \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\rho_0\mathrm{d}V $$
电场环路定理
$$ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
磁场的 Gauss 定理
$$ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}S=0 $$
Ampère 环路定理
$$ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\bm{S} $$
$$ \begin{cases} \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}&=\int_V\rho_0\mathrm{d}V\ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}&=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}S&=0\ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}&=\int_S\left(\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\bm{S} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \nabla\cdot\bm{D}&=\rho_0\ \nabla\times\bm{E}&=-{\partial\bm{B}\over\partial t}\ \nabla\cdot\bm{B}&=0\ \nabla\times\bm{H}&=\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} D{1n}=D{2n}\ E{1t}=E{2t}\ B{1n}=B{2n}\ H{1t}=H{2t} \end{cases} $$
$$ f={1\over2\pi\sqrt{LC}} $$
平均能流密度 $\bar{S}=\frac{1}{2}E_0H_0$
性质:
瞬时能流密度 $\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}$
汇集于同一结点的各支路电流代数和为 $0$
在一个回路中, 电阻电势降代数和等于电源电动势代数和
$$ Z:=\frac{U_0}{I_0}=\frac{U}{I} $$
因为相位差, 所以瞬时值不能写成类似关系
$$ \varphi:=\varphi_u-\varphi_i $$
$$ Z=R,\varphi=0 $$
阻抗仅在频率不太高的时候成立 (趋肤效应)
$$ u(t)=U_0\cos\omega t $$
$$ i(t)=I_0\cos\omega t $$
$$ Z=\omega L,\varphi=\frac{\pi}{2} $$
$$ u(t)=U_0\cos\omega t $$
$$ i(t)=I_0\cos(\omega t-\frac{\pi}{2}) $$
$$ Z=\frac{1}{\omega C},\varphi=-\frac{\pi}{2} $$
$$ u(t)=U_0\cos\omega t $$
$$ i(t)=I_0\cos(\omega t+\frac{\pi}{2}) $$
$$ \tilde{U}=U_0e^{j(\omega t+\varphi_u)} $$
$$ \tilde{I}=I_0e^{j(\omega t+\varphi_i)} $$
$$ \tilde{Z}={\tilde{U}\over\tilde{I}}=Ze^{j\varphi} $$
$$ \tilde{Z}_R=R $$
$$ \tilde{Z}_L=j\omega L $$
$$ \tilde{Z}_C=\frac{1}{j\omega C} $$
$$ \tilde{U}=\sum_i\tilde{U_i} $$
$$ \tilde{Z}=\sum_i\tilde{Z_i} $$
$$ \tilde{I}=\sum_i\tilde{I_i} $$
$$ {1\over\tilde{Z}}=\sum_i{1\over\tilde{Z_i}} $$
$$ \sum\pm\tilde{I}=0 $$
$$ \sum\pm\tilde{I}\tilde{Z}=\sum\pm\tilde{E} $$
$$ \tilde{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right) $$
$$ p(t)=u(t)i(t)=\frac{1}{2}U_0I_0(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi))=UI(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)) $$
和差化积: $\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)=2\cos\omega t\cos\varphi$
$$ P=\frac{1}{T}\int_0^Tp(t)\mathrm{d}t=UI\cos\varphi $$
$\cos\varphi$: 功率因数, 有功功率在视在功率中所占比例
视在功率
$$ S=UI $$
单位: $\mathrm{V\cdot A}$
有功功率
$$ P=I^2Z\cos\varphi=I^2\Re\tilde{Z} $$
单位: $\mathrm{W}$
无功功率
$$ P_q=I^2Z\sin\varphi=I^2\Im\tilde{Z} $$
单位: $\mathrm{Var}$
$$ S^2=P^2+P_q^2 $$
$$ \frac{\tan i}{\tan r}={\mu{r1}\over\mu{r2}} $$
漏磁
串联磁路
单回路
$$ NI_0=\Phi\sum_i\frac{l_i}{\mu_iS_i} $$
$$ \epsilon_n=\Phi\sumiR{mi} $$
闭合磁路磁通势等于各段磁路上的磁势降落之和
有效磁导率 (与相同空心螺绕环的比值) $\mu_e:=\frac{\Phi}{\Phi_0}$
开气隙使磁导率大幅下降, 但能极大改善器件的温度稳定性
相对强度 $I=E_0^2$
沿 $r$ 方向传播的平面电磁波 $\bm{E}=\bm{E}_0\cos(\omega t-\bm{k}\cdot\bm{r}+\varphi_0)$
$l=nx$
具有固定的相位关系
干涉加强 光程差为半波长偶数倍
杨氏双缝干涉
亮条纹条件 $2\frac{r_2-r_1}{\lambda}=2k$ (光程差为半波长偶数倍)
$x=\frac{D}{2a}2k\frac{\lambda}{2}$
暗条纹条件 $2\frac{r_2-r_1}{\lambda}=2k+1$ (光程差为半波长奇数倍)
$x=\frac{D}{2a}(2k+1)\frac{\lambda}{2}$
薄膜干涉
等厚干涉
光程差 $\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}$
空气劈尖
Michelson 干涉
单缝
$\alpha=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\varphi$
$\alpha=0$: 主极大
次极大 $A_p=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}$
明纹条件 ${\mathrm{d}A_p\over\mathrm{d}\alpha}=0\implies\tan\alpha=\alpha$
圆孔