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title: 随笔 - 一些数学公式
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- 数学
- Möbius反演
- Fibonacci数列
date: 2021-05-07 14:05:47
记录一些杂七杂八的数学公式
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关于取整函数
- $$
\lfloor x\rfloor=\begin{cases}
\displaystyle x+\frac{\arctan\cot\pi x}{\pi}-\frac{1}{2},&x\notin\mathbb{Z}\
x,&x\in\mathbb{Z}
\end{cases}
$$
关于数论函数
- $$
\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\frac{\gcd{x,y}}{\varphi(\gcd{x,y})}
$$
莫反相关结论
- $$
\sum{i=1}^n\sum{j=1}^m(i,j)^k=\sum_{D=1}^{\min{n,m}}\left\lfloor\frac{n}{D}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{D}\right\rfloor{\operatorname{id}_k*\mu}(D)
$$
- $$
{\operatorname{id}_k*\mu}(p^s)=p^{ks}-p^{k(s-1)}
$$
关于 Fibonacci 数列
杂项
- $$
e(e+\pi)^e(2e + \pi)^e+\frac{e}{(\pi^e-e)(e+e^\pi-\pi^e)}\approx 114514.1919810
$$