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title: 随笔 - 倍增与快速幂 categories:

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• 基环内/外向树 date: 2020-04-27 13:48:01

想不到吧, 倍增还能和快速幂联系到一起

在开始之前, 让我们先明确一些定义

定义

1. $m$ 元运算: 一个 $A^m\to A$ 的映射

2. 对一元运算 $\phi,\nu$

   1. 恒等运算: $e:A\to A;a\mapsto a$

   2. 乘法: $(\phi\circ\nu)(a):=\phi(\nu(a))$

      在不引起歧义的情况下可记作 $\phi\nu(a)$

      该运算显然具有结合律

   3. 乘方: $\phi^n(a):=\begin{cases} e(a),&n=0\ \phi^{n-1}\phi(a),&n>0 \end{cases}(n\in\mathbb{N})$

   4. $\phi_k:=\phi^{2^k}$

3. 对二元运算 $\tau$

   1. 对 $l,r\in\mathbb{N},l\leqslant r$, 定义 $\tau[l,r]:=\begin{cases} \tau(l,l),&l=r\ \tau(l,\tau[l+1,r]),&otherwise \end{cases}$

概述

倍增是一种针对特定运算的优化策略, 可以使复杂度从 $O(n)$ 降至 $O(\log n)$

特定运算即具有结合律的运算

倍增

注意到

• $\phi_{n+1}=\phi_n\phi_n,\forall n\in\mathbb{N}$
• $\phi^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor\log_2n\rfloor}b_i\phii,\forall n=\overline{b{\lfloor\log_2n\rfloor}...b_1b0}{(2)}\in\mathbb{N}^+$

故我们可以先 $O(\log n)$ 预处理出 $\phi_k$, 便可以 $O(\log n)$ 的复杂度算出 $\phi^n$

这就是倍增的思想

倍增也就是运算的快速幂, 这也就是标题的含义了

实现

• 预处理

  $\begin{array}{l|l} 1 & \textbf{function}~ \text{Initialize}()\ 2 & \quad \textbf{for}~ i \gets 0 ~\textbf{to}~ constant ~\textbf{do} \ 3 & \quad \quad \textbf{for}~ j \gets minimun ~\textbf{to}~ maximum ~\textbf{do}\ 4 & \quad \quad \quad \phi{i,j} \gets \phi{i-1,\phi_{i-1,j}} \ 5 & \quad \quad \textbf{end}~\textbf{for} \ 6 & \quad \textbf{end}~\textbf{for} \ 7 & \quad \textbf{return}~ \phi \ 8 & \textbf{end}~\textbf{function} \end{array}$

• 计算 $\phi^n(a)$

  $\begin{array}{r|l:l} 1 & \textbf{function}~ \text{Query}(\phi,n,a)\ 2 & \quad \textbf{for}~ i \gets 0 ~\textbf{to}~ constant ~\textbf{do} \ 3 & \quad \quad \textbf{if}~ n ~\text{and}~ 2^i=2^i ~\textbf{then}~ a \gets \phi_{i,a} \ 4 & \quad \textbf{end}~\textbf{for} \ 5 & \quad \textbf{return}~ a \ 6 & \textbf{end}~\textbf{function} \end{array}$

应用

快速幂

只有理论上的意义, 即快速幂和倍增二者之间的关系

ST 表

ST 表是用于解决可重复性贡献问题的数据结构¹

可重复性贡献问题即在 $\tau(x,x)=x$ 且 $\tau$ 满足结合律时询问 $\tau[l,r]$

二元运算是不能直接上倍增的, 但我们可以将其转化成一元运算

定义 $\phi_k(l)=\tau[l,l+2^k-1]$, 此时就可以用倍增了

$\begin{array}{l|l} 1 & \textbf{function}~ \text{Initialize}(array,\tau,l,r)\ 2 & \quad length \gets \lfloor\log2(r-l+1)\rfloor\ 3 & \quad \textbf{for}~ i \gets l ~\textbf{to}~ r ~\textbf{do} \ 4 & \quad \quad \phi{0,i} \gets arrayi\ 5 & \quad \textbf{end}~\textbf{for} \ 6 & \quad \textbf{for}~ i \gets 1 ~\textbf{to}~ length ~\textbf{do} \ 7 & \quad \quad \textbf{for}~ j \gets l ~\textbf{to}~ r-2^i+1 ~\textbf{do}\ 8 & \quad \quad \quad \phi{i,j} \gets \tau(\phi{i-1,j},\phi{i-1,j+2^{i-1}}) \ 9 & \quad \quad \textbf{end}~\textbf{for} \ 10 & \quad \textbf{end}~\textbf{for} \ 11 & \quad \textbf{return}~ \phi \ 12 & \textbf{end}~\textbf{function} \ 13 & \ 14 & \textbf{function}~ \text{Query}(\phi,\tau,l,r)\ 15 & \quad length \gets \lfloor\log2(r-l+1)\rfloor\ 16 & \quad \textbf{return}~ \tau(\phi{length,l},\phi_{length,r-2^{length}+1}) \ 17 & \textbf{end}~\textbf{function} \end{array}$

LCA

基环内/外向树 dp