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title: 随笔 - 根据给定序列构造周期数列 (附 MATLAB 程序) categories:
对于给定的一个序列 $[a_1,a_2,\dots,a_m]$, 如何构造数列 ${f_n}$ 满足 ${f_n}$ 为周期为 $m$ 的数列且 $f_i=a_i,~\forall i\in 1..m$
例如数列
$$ \color{brown}f_n=\frac{2}{3}\left(-\sqrt{3}\sin\frac{\pi n}{3}-\cos\frac{\pi n}{3}+\sqrt{3}\sin\frac{2\pi n}{3}+2\cos\frac{2\pi n}{3}+\cos\pi n+4\right) $$
以 6 为周期且 $\color{brown}(f_1,...,f_6)=(1,1,4,5,1,4)$
<!-- more -->这里给出一种构造方法
显然 $fn=\sum{i=0}^{m-1}c_i\omega_m^{i(n-1)}$ 是一个周期为 $m$ 的数列, 其中 $\omega_m=e^\frac{2\pi i}{m}$ 为 $m$ 次本原单位根
接下来我们只需令 $f{1..m}=a{1..m}$ 即可
显然我们有
$$ \begin{bmatrix} 1&1&1&...&1\ 1&\omega&\omega^2&...&\omega^{m-1}\ 1&\omega^2&\omega^4&...&\omega^{2(m-1)}\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ 1&\omega^{m-1}&\omega^{2(m-1)}&...&\omega^{(m-1)^2}\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_0\c_1\c2\...\c{m-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1\a_2\a_3\...\a_m \end{bmatrix} $$
注意到系数矩阵为 Vandermonde 行列式, 故该方程组一定有唯一解