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title: 随笔 - Laplace算子的旋转不变性 categories:

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• 旋转不变性 date: 2021-09-23 00:08:45

一道练习题

{% note success no-icon %}

<a id="th">定理</a> (Laplace 算子的旋转不变性)

令

• $O=(o{ij}){n\times n}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 是正交矩阵
• $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$
• $y=Ox=(y_1,y_2,\dots,y_n)^T\in\mathbb{R}^n$

则

$$ \Delta_x=\Delta_y $$

其中

• $$ \Deltax:=\sum{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} $$
• $$ \Deltay:=\sum{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial y_i^2} $$

Proof 显然

$$ yi=\sum{j=1}^no_{ij}x_j,\ \forall i=1..n $$

故我们有

$$ \frac{\partial}{\partial xi}=\sum{j=1}^n\frac{\partial}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial xi}=\sum{j=1}^no_{ji}\frac{\partial}{\partial y_j} $$

考虑 Hessian 矩阵

$$ \nabla^2_x=\left(\frac{\partial^2}{\partial x_j\partial xi}\right){n\times n}=\left(\sum{l=1}^n\sum{k=1}^no{lj}o{ki}\frac{\partial^2}{\partial y_l\partial yk}\right){n\times n} $$

则

$$ \begin{aligned} \Delta_x&=\operatorname{tr}(\nabla^2x)\ &=\sum{l=1}^n\sum{k=1}^n\left(\sum{i=1}^no{li}o{ki}\right)\frac{\partial^2}{\partial y_l\partial yk}\ &=\sum{l=1}^n\sum{k=1}^n\delta{kl}\frac{\partial^2}{\partial y_l\partial yk}\ &=\sum{k=1}^n\frac{\partial^2}{\partial y_k^2}\ &=\Delta_y \end{aligned} $$

{% endnote %}