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title: 集合论01 - 基本概念 categories:

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直积 date: 2021-03-27 17:34:32

本篇主要介绍集合论中的基础概念

集合是数学中无法被准确定义的概念之一

基本定义

集合族, 指标集

{% note info no-icon %}

<a id="def-1-1">定义 - 1-1</a> 令 $I$ 为一集合, 称

$$ {A_{\alpha}:\alpha\in I} $$

为 集合族, 记作 ${A{\alpha}}{\alpha\in I}$

其中 $I$ 称为 指标集

当 $I=\mathbb{N}^+$ 时, 集合族也称作 集合列, 可简记为 ${A_k}$

{% endnote %}

二元关系

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<a id="def-1-2">定义 - 1-2</a> 令 $A$ 为一集合, 称 $A\times A$ 的子集为 $A$ 上的一 二元关系

{% endnote %}

显然, $A$ 上的所有二元关系也构成集合, 我们令其为 $\mathscr{B}(A):=\mathscr{P}(A\times A)$

类似的, 我们可以定义多元关系, 此处略去不表

我们对二元关系定义几种性质

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<a id="def-1-3">定义 - 1-3</a> 设 $A$ 为一集合, $\sigma\in\mathscr{B}(A)$

自反性: $(\forall a\in A),a~\sigma~a$
反自反性: $(\forall a\in A),a~\overline{\sigma}~a$
对称性: $(\forall a,b\in A),a~\sigma~b\iff b~\sigma~a$
反对称性: $(\forall a,b\in A),a~\sigma~b~\&~b~\sigma~a\implies a=b$
传递性: $(\forall a,b,c\in A),a~\sigma~b~\&~b~\sigma~c\implies a~\sigma~c$

{% endnote %}

对称差

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<a id="def-1-4">定义 - 1-4</a> 令 $A,B$ 为两集合, 称

$$ (A\setminus B)\cup(B\setminus A) $$

为 $A$ 与 $B$ 的 对称差集, 记作 $A\triangle B$

{% endnote %}

显然, 对称差有如下性质:

$A\triangle\varnothing=A$, $A\triangle A=\varnothing$
$A\triangle A^c=X$, $A\triangle X=A^c$, 其中 $X$ 为全集
$A\triangle B=B\triangle A$
$(A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)$
$A\cap(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$
$A^c\triangle B^c=A\triangle B$
$A\triangle B=A\iff B=\varnothing$
$(\forall A,B),\exists_1 E~s.t.~E\triangle A=B$ ($E=A\triangle B$)

集合列的极限

众所周知, 极限是研究无限性质的重要工具, 我们首先对单调的集合列给出极限的定义

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<a id="def-1-5">定义 - 1-5</a>

设集合列 ${A_k}$ 满足 $$ Ak\subseteq A{k+1},~\forall k\in\mathbb{N}^+ $$ 则称其为 递增集合列, 定义 $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ 为该集合列的 极限集
设集合列 ${A_k}$ 满足 $$ Ak\supseteq A{k+1},~\forall k\in\mathbb{N}^+ $$ 则称其为 递减集合列, 定义 $\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k$ 为该集合列的 极限集

{% endnote %}

{% note primary no-icon %}

<a id="eg-1-1">例 - 1-1</a> 设在 $\mathbb{R}$ 上有一函数列满足

$$ fi(x)\leqslant f{i+1}(x),~i\in\mathbb{N}^+ $$
$$ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) $$

对给定实数 $t$, 作集合列

$$ E_n={x:f_n(x)>t},~n\in\mathbb{N}^+ $$

显然集合列 ${E_n}$ 递增, 且

$$ \lim_{n\to\infty}E_n={x:f(x)>t} $$

{% endnote %}

对一般的集合列, 我们可以参照 <a href="#def-1-5">定义 - 1-5</a> 给出上下极限的定义

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<a id="def-1-6">定义 - 1-6</a> 设 ${A_k}$ 为一集合列, 称

$$ \bigcap{i=1}^{\infty}\bigcup{k=i}^{\infty}A_k $$

为 ${Ak}$ 的 上极限集, 记作 $\displaystyle\limsup{k\to\infty}A_k$
$$ \bigcup{i=1}^{\infty}\bigcap{k=i}^{\infty}A_k $$

为 ${Ak}$ 的 下极限集, 记作 $\displaystyle\liminf{k\to\infty}A_k$

{% endnote %}

{% note primary no-icon %}

<a id="eg-1-2">例 - 1-2</a> 设 $E,F$ 为两集合,

$$ A_n=\begin{cases} E,&2\mid n\ F,&2\nmid n \end{cases},~n\in\mathbb{N}^+ $$

则 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}An=E\cup F,~\liminf{n\to\infty}A_n=E\cap F$

{% endnote %}

下列命题显然成立

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<a id="pb-1-1">命题 - 1-1</a> 设 $E$ 为一集合, ${A_k}$ 为一集合列, 则

$$ E\setminus\limsup_{n\to\infty}An=\liminf{n\to\infty}(E\setminus A_n) $$
$$ E\setminus\liminf_{n\to\infty}An=\limsup{n\to\infty}(E\setminus A_n) $$

{% endnote %}

{% note success no-icon %}

<a id="th-1-1">定理 - 1-1</a> 若 ${A_k}$ 为一集合列, 则

$$ \limsup_{n\to\infty}A_n={x:(\forall j\in\mathbb{N}^+,\exists k\geqslant j),~x\in A_k} $$
$$ \liminf_{n\to\infty}A_n={x:(\exists j\in\mathbb{N}^+,\forall k\geqslant j),~x\in A_k} $$

即

${A_k}$ 的上限集是由属于 ${A_k}$ 中无限多集合的元素构成
${A_k}$ 的下限集是由不属于 ${A_k}$ 中有限多集合的元素构成

<details open> <summary>Proof</summary> $$ \begin{aligned} x\in\limsup_{n\to\infty}A_n&\iff\forall j\in\mathbb{N}^+,~s.t.~x\in\bigcup_{k=j}^{\infty}A_k\\ &\iff\forall j\in\mathbb{N}^+,\exists k\geqslant j,~x\in A_k \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} x\in\liminf_{n\to\infty}A_n&\iff\exists j\in\mathbb{N}^+,~s.t.~x\in\bigcap_{k=j}^{\infty}A_k\\ &\iff\exists j\in\mathbb{N}^+,\forall k\geqslant j,~x\in A_k \end{aligned} $$ </details>

{% endnote %}

{% note success no-icon %}

<a id="ifr-1-1">推论 - 1-1</a> 若 ${A_k}$ 为一集合列, 则

$$ \limsup_{n\to\infty}An\supseteq\liminf{n\to\infty}A_n $$

{% endnote %}

直积

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<a id="def-1-7">定义 - 1-7</a> 令 $X,Y$ 为两集合, 称 ${(x,y):x\in X,y\in Y}$ 为 $X,Y$ 的直积集, 记作 $X\times Y$

$X\times X$ 也可记作 $X^2$

{% endnote %}

例题

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<a id="asm-1-1">题 - 1-1</a>

设 ${f_n(x)}$ 以及 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的函数

证明: 使 $f_n(x)$ 不收敛到 $f(x)$ 的一切点 $x$ 组成的集合为

$$ D=\bigcup{k=1}^{\infty}\bigcap{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}\left{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k}\right} $$

<details open> <summary>Proof</summary> 若 $f_n(x_0)$ 不收敛到 $f(x_0)$, 则 $$ \exists k\in\mathbb{N}^+,\forall N\in\mathbb{N}^+,\exists n\geqslant N,~s.t.~|f_n(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{k} $$ 令 $E_{n,k}=\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k}\right\}$, 则 $$ \exists k\in\mathbb{N}^+,x_0\in\limsup_{n\to\infty}E_{n,k} $$ 反之, $\forall k\in\mathbb{N}^+,x\in\limsup_{n\to\infty}E_{n,k}$ 显然不是收敛点从而 $$ x_0\in\bigcup_{k=1}^{\infty}\limsup_{n\to\infty}E_{n,k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k}\right\}=D $$ </details>

{% endnote %}

{% note primary no-icon %}

<a id="asm-1-2">题 - 1-2</a>

设 ${fn(x)}$ 以及 $f(x)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的函数, 且 $\lim{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$

证明:

$$ \forall t\in\mathbb{R},{x:f(x)\leqslant t}=\bigcap{k=1}^{\infty}\bigcup{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left{x:f_n(x)<t+\frac{1}{k}\right} $$

<details open> <summary>Proof</summary> 令 $E_{n,k}=\left\{x:f_n(x)<t+\frac{1}{k}\right\}$, 则 $$ \begin{aligned} x_0\in\{x:f(x)\leqslant t\}\iff&\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)\leqslant t\\ \iff&\forall k\in\mathbb{N}^+,\exists N\in\mathbb{N}^+,\forall n\geqslant N,~f_n(x_0)<t+\frac{1}{k}\\ \iff&\forall k\in\mathbb{N}^+,x_0\in\liminf_{n\to\infty}E_{n,k}\\ \iff&x_0\in\bigcap_{k=1}^{\infty}\liminf_{n\to\infty}E_{n,k}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left\{x:f_n(x)<t+\frac{1}{k}\right\} \end{aligned} $$ </details>

{% endnote %}

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<a id="asm-1-3">题 - 1-3</a>

设 $a_n\to a~(n\to\infty)$

证明:

$$ \bigcap{k=1}^{\infty}\bigcup{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left(a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}\right)=a $$

<details open> <summary>Proof</summary> 令 $E_{n,k}=\left(a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}\right)$, 则 $$ \begin{aligned} a_0\in\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left(a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}\right)=\bigcap_{k=1}^{\infty}\liminf_{n\to\infty}E_{n,k} \iff&\forall k\in\mathbb{N}^+,a_0\in\liminf_{n\to\infty}E_{n,k}\\ \iff&a\leqslant a_0\leqslant a\\ \iff&a_0=a \end{aligned} $$ </details>

{% endnote %}