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title: "集合论04 - R^n 上的点集" categories:
本篇主要介绍 $\mathbb{R}^n$ 上点集的相关概念, 并会介绍 $\mathbb{R}^n$ 上的一些特殊点集
<!-- more -->欧氏空间的相关定义略, 详情请参照高等代数相关章节
本章将给出一大堆定理 (建议当字典用)
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<a id="def-1-1">定义 - 1-1</a> 设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$, 称
$$ \operatorname{diam}(E):=\sup{|x-y|:x,y\in E} $$
为 $E$ 的直径
若 $\operatorname{diam}(E)<+\infty$, 则称 $E$ 为有界集
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<a id="def-1-2">定义 - 1-2</a> 设
则
称点集
$$ {x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|<\delta} $$
为以 $x_0$ 为中心, $\delta$ 为半径的开球 (或 $x_0$ 的邻域), 记为 $B(x_0,\delta)$
称点集
$$ {x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|\leqslant\delta} $$
为以 $x_0$ 为中心, $\delta$ 为半径的闭球, 记为 $C(x_0,\delta)$
称点集
$$ {x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|=\delta} $$
为以 $x_0$ 为中心, $\delta$ 为半径的球面
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{% note info no-icon %}
<a id="def-1-3">定义 - 1-3</a> 设
则
另外, 称 $b_i-a_i$ 为矩体的边长, 若矩体各边长相等, 则称该矩体为方体
矩体常用 $I$, $J$ 等表示, 其体积用 $|I|$, $|J|$ 等表示
显然, 对于矩体 $I=\prod_{i=1}^n(a_i,b_i)$, 有
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<a id="def-1-4">定义 - 1-4</a> 设 $x_k\in\mathbb{R}^n,~k=1,2,...$, 若
$$ \exists x\in\mathbb{R}^n,~s.t.~\lim_{k\to\infty}|x_k-x|=0 $$
则称点列 ${x_k}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的收敛点列, 称 $x$ 为其极限, 简记为
$$ \lim_{k\to\infty}x_k=x $$
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不难证明 $\mathbb{R}^n$ 上的 Cauchy 收敛定理, 故此处省略
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<a id="def-1-5">定义 - 1-5</a> 设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$
若
$$ \exists x\in\mathbb{R}^n,\exists {xk}\subseteq E,~s.t.~\lim{k\to\infty}x_k=x $$
则称 $x$ 为 $E$ 的聚点 (或极限点)
$E$ 上的全体聚点称为 $E$ 的导集, 记为 $E'$
若
$$ \exists x\in E,\forall {xk}\subseteq E,~s.t.~\lim{k\to\infty}x_k\ne x $$
则称 $x$ 为 $E$ 的孤立点, 显然 $x\in E\setminus E'$
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<a id="eg-1-1">例 - 1-1</a> 设 $E={\sqrt{m}-\sqrt{n}:m,n\in\mathbb{N}}$, 则 $E'=\mathbb{R}$
注意到 $\forall x\in\mathbb{R}$, 令
$$ x_n=\sqrt{\lfloor (x+n)^2\rfloor}-\sqrt{n^2} $$
则
$$ \sqrt{(x+n)^2-1}-n<x_n<x $$
显然
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=x $$
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{% note success no-icon %}
<a id="th-1-1">定理 - 1-1</a> 设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$, 则
$$ x\in E'\iff\forall\delta>0,~(B(x,\delta)\setminus{x})\cap E\ne\varnothing $$
证明略
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{% note success no-icon %}
<a id="th-1-2">定理 - 1-2</a> 设 $E_1,E_2\subseteq\mathbb{R}^n$, 则
$$ (E_1\cup E_2)'=E_1'\cup E_2' $$
证明略
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{% note success no-icon %}
<a id="th-1-3">定理 - 1-3</a> (Bolzano-Weierstrass 定理)
$\mathbb{R}^n$ 中任一有界无限点集均至少有一个聚点
<details open> <summary><font color='orange'>Proof</font></summary> 对 $\mathbb{R}$ 上的 Bolzano-Weierstrass 定理用数学归纳法即可 </details>{% endnote %}
{% note primary no-icon %}
证明: 设 ${a_n}$ 为 $\mathbb{R}$ 中的有界点列, 且
$$ |a_{n+1}-a_n|\geqslant 1,~n=1,2,... $$
则 ${a_n}$ 可能有无穷多个聚点
<details open> <summary><font color='orange'>Proof</font></summary> 令 $$ a_n=\begin{cases} \frac{1}{p}+\frac{1}{q},&2\nmid n\\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+4,&2\mid n\\ \end{cases},~p,q=1,2,...;n=1,2,... $$ 其中 $(p,q)$ 随 $\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor$ 递增按 $$ (1,1)\to(1,2)\to(2,1)\to(3,1)\to(2,2)\to(1,3)\to(1,4)\to... $$ 顺序赋值 则 - $$ \{a_n\}'=\left\{ \frac{1}{n}\right\} $$ - $$ |a_{n+1}-a_n|\geqslant 1,~n=1,2,... $$ </details>{% endnote %}